[論文レビュー] A higher speed type II blowup for the five dimensional energy critical heat equation

Junichi Harada|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、5次元エネルギー臨界な熱方程式に対して、以前に知られていたものより速い崩壊速度を持つタイプII崩壊解の初の厳密な存在証明を確立している。具体的には、整数 k≥2 に対して、‖u(t)‖∞ ∼ (T−t)⁻³ᵏ を達成している。非定数の特解 Θ(x,t) ∼ (T−t)ˡ を用いた精密な内部-外部グラフ法により、k=1 の場合よりも高い速度で崩壊する径対称解が構成され、Filippas, Herrero, Velázquez の形式的漸近結果を拡張している。

ABSTRACT

This paper is concerned with blow-up solutions of the five dimensional energy critical heat equation $u_t=Δu+|u|^\frac{4}{3}u$. A goal of this paper is to show the existence of type II blowup solutions which behave as $\|u(t)\|_\infty\sim(T-t)^{-3k}$ ($k=2,3,\cdots$). Our solutions are the same one formally derived by Filippas, Herrero and Velázquez \cite{Filippas}.

研究の動機と目的

• 5次元エネルギー臨界熱方程式に対して、以前に確立されたものより速い崩壊速度を持つタイプII崩壊解の存在を厳密に証明すること。
• Filippas, Herrero, Velázquez が5次元において (T−t)⁻³ᵏ (k≥2) の形の崩壊速度を予測した形式的漸近結果を拡張すること。
• 内部-外部グラフ法における外部解の枠組みを修正することで、(T−t)⁻³ᵏ (k≥2) の崩壊速度を持つ解を構成すること。
• |x|∼√(T−t) において (T−t)ˡ に比例する非定数特解 Θ(x,t) を選ぶことで、より速い崩壊ダイナミクスが可能であることを示すこと。

提案手法

• 解は内部-外部グラフ法を用いて構成され、u = Qλ + Θχ_out + λ⁻³ε(y,t)χ_in + w と分解される。ここで y = x/λ である。
• |x|∼√(T−t) において (T−t)ˡ に比例する非定数特解 Θ(x,t) が導入され、これにより k=l+1 の場合に (T−t)⁻³ᵏ のより高い崩壊速度が達成される。
• 外部解 w(x,t) は、熱方程式から導かれる比較論的議論と減衰推定を用いて制御され、Herrero と Velázquez のタイプII崩壊に関する研究から適応された技術が用いられる。
• 重み付き関数空間 Xσ における固定点議論を用いて外部問題を解き、解の存在性と正則性を T まで保証する。
• 内部解 ε(y,t) は、先行研究と同様に、基底状態 Qλ の周囲におけるスペクトル解析と線形化に依存する。
• σ→0 の極限を取ることで、解が C(R⁵×[0,T))∩C²,¹(R⁵×(0,T)) に全域的に存在し、所望の崩壊速度を持つことが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元エネルギー臨界熱方程式に対して、(T−t)⁻³ᵏ (k≥2) の崩壊速度を持つタイプII崩壊解を厳密に構成することは可能か？
• RQ2 内部-外部グラフ法の枠組みにおいて、特解 Θ(x,t) の選択がより高い崩壊速度を達成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 グラフ法における固定点議論を閉じるため、外部解 w(x,t) を十分な減衰で推定するにはどうすればよいか？
• RQ4 Cortázar, del Pino, Musso が以前に証明した k=1 の場合を越えて、崩壊速度を拡張することは可能か？
• RQ5 崩壊速度を (T−t)⁻³ より速くするには、グラフ法にどのような修正が必要か？

主な発見

• 本稿は、5次元エネルギー臨界熱方程式に対して、任意の整数 k≥2 に対して、‖u(t)‖∞ ∼ (T−t)⁻³ᵏ の崩壊速度を持つ径対称タイプII崩壊解を構成している。
• この崩壊速度は、|x|∼√(T−t) において (T−t)ˡ に比例する特解 Θ(x,t) を選ぶことで達成され、λ(t)∼(T−t)²ˡ⁺² となるため、λ(t)⁻³∼(T−t)⁻³⁽ˡ⁺¹⁾ となる。
• この構成により、k≥2 に対する崩壊速度 (T−t)⁻³ᵏ の初の厳密な存在結果が得られ、Filippas, Herrero, Velázquez の形式的予測が裏付けられた。
• 外部解 w(x,t) は、|x|>1 に対して |w(x,t)|≲ T³ˡ⁺³/|x|³ + δ₀²/|x|² の減衰推定を満たすことが示され、固定点議論に不可欠である。
• 解は重み付き関数空間 Xσ におけるコンパクトかつ連続な写像にSchauderの固定点定理を適用することで得られ、σ→0 の極限で最終的な解が得られる。
• この結果により、エネルギー臨界設定において、k=1 の場合を越えるより速い崩壊速度が動的につきうることが確立された。