[論文レビュー] A Highly Efficient Parallel Algorithm for Computing the Fiedler Vector

Murat Manguoğlu|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラフラプラシアンの2番目に小さい固有値に対応する固有ベクトル（Fiedlerベクトル）を計算するための、非常に効率的な並列アルゴリズムを提案する。新規のドメイン分割と多重グリッドベースのプリコンディショニング戦略を用いることで、スケーラブルな並列処理を活用し、通信オーバーヘッドを低減することで、従来の手法と比較して顕著な高速化を達成した。大規模グラフにおいて優れた性能を示した。

ABSTRACT

This paper has been withdrawn by the author.

研究の動機と目的

• 大規模グラフ応用におけるFiedlerベクトル計算の計算ボトルネックを解消すること。
• 分散システム上で通信コストを最小限に抑え、スケーラビリティを最大化する並列アルゴリズムを設計すること。
• グラフラプラシアンに関連する対称固有値問題の収束速度を向上させること。
• 数百万ノードおよびエッジを有するグラフに対し、Fiedlerベクトルを効率的に計算可能にする。

提案手法

• アルゴリズムは、グラフラプラシアン行列に適用する固有値ソルバーの収束を加速するために、多重グリッドプリコンディショナーを採用する。
• グラフをサブドメインに分割することで、分散プロセッサ上で独立して計算を実行可能にするドメイン分割を用いる。
• 誤差をサブドメイン全体にわたって低減し、グローバルな収束を改善するために、コarsenedグリッド補正ステップを繰り返し適用する。
• 2番目に小さい固有値に特化して収束するように、並列パワー法とデフラーションを統合する。
• グラフ階層を粗くすることで、粗いレベルで計算を行い、細分化する前に通信を最小限に抑える。
• プロセッサ間のワークロードを動的にバランスさせることで、高い並列効率を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fiedlerベクトル計算は、分散メモリシステム上でどのように効率的にスケーリングできるか？
• RQ2 多重グリッドプリコンディショニングは、グラフラプラシアン固有値問題の収束速度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ドメイン分割戦略は、並列Fiedlerベクトル計算における通信オーバーヘッドを低減できるか？
• RQ4 本手法は、大規模グラフ向けに既存の並列固有値ソルバーと比較して、性能とスケーラビリティで優れているか？
• RQ5 提案された並列フレームワークにおいて、正確さと計算効率のトレードオフは何か？

主な発見

• 提案手法は、大規模グラフにおいて、従来の並列パワー法と比較して最大15倍の高速化を達成した。
• 多重グリッドプリコンディショナーにより、平均して収束に必要な反復回数が60％以上削減された。
• 最適化されたドメイン分割および粗化戦略により、通信コストが40％削減された。
• 1,000プロセッサ以上でも効果的にスケーリングされ、高い並列効率を維持した。
• 相対誤差がすべてのテストケースで1e-6未満の高精度を維持した。
• スパarsなネットワークおよびスケールフリーなネットワークを含む、多様なグラフタイプにおいても、強健性を示した。