[論文レビュー] A Hilbert manifold structure on the refined Teichmueller space of bordered Riemann surfaces

David Radnell, Eric Schippers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$2g+2-n > 0$ のとき、境界成分が $n$ 個ある genus $g$ の境界付きリーマン面の精密化されたテイヒミュラー空間にヒルベルト多様体構造を確立する。これは、擬等角写像の解析的修正とベソフ空間論を用いる。さらに、 conformal field theory におけるrigged moduli space が、bi­ho­lo­mor­ph­ic な作用を施した精密化されたテイヒミュラー空間の商として得られる複素ヒルベルト多様体であることを示す。

ABSTRACT

We consider bordered Riemann surfaces which are biholomorphic to compact Riemann surfaces of genus g with n regions biholomorphic to the disc removed. We define a refined Teichmueller space of such Riemann surfaces and demonstrate that in the case that 2g+2-n>0, this refined Teichmueller space is a Hilbert manifold. The inclusion map from the refined Teichmueller space into the usual Teichmueller space (which is a Banach manifold) is holomorphic. We also show that the rigged moduli space of Riemann surfaces with non-overlapping holomorphic maps, appearing in conformal field theory, is a complex Hilbert manifold. This result requires an analytic reformulation of the moduli space, by enlarging the set of non-overlapping mappings to a class of maps intermediate between analytically extendible maps and quasiconformally extendible maps. Finally we show that the rigged moduli space is the quotient of the refined Teichmueller space by a properly discontinuous group of biholomorphisms.

研究の動機と目的

• 境界成分が $n$ 個あり、円周に同相な境界を持つ境界付きリーマン面の精密化されたテイヒミュラー空間を定義すること。
• 解析的構造としてベソフ空間およびカールソン測度を用いて、$2g+2-n > 0$ のとき、この精密化された空間がヒルベルト多様体であることを確立すること。
• 標準的テイヒミュラー空間への包含写像が正則であることを示すこと。
• 非重複する正則写像の解析的再定式化を用いて、 conformal field theory における rigged moduli space が複素ヒルベルト多様体であることを示すこと。
• rigged moduli space が、properly discontinuous な biholomorphism 群による精密化されたテイヒミュラー空間の商と biholomorphically equivalent であることを証明すること。

提案手法

• タフタジャンとティオのユニバーサルテイヒミュラー空間に関する結果と、グォ・フイの $L^2$-基盤の擬等角テイヒミュラー理論の修正を組み合わせる。
• マーク付き正則ファミリーのリーマン面理論と、ガーディナーおよびシュフィアーの変分法を用いる。
• ディリクレ空間とリトル・ブロッホ空間の関係を用いて、移行関数を分析する。
• 解析的ベソフ空間のカールソン測度理論を応用し、移行写像が biholomorphism であることを検証する。
• 解析的におよび擬等角的に拡張可能な写像の間の中間クラスの写像を導入し、rigged moduli space を再定式化する。
• 精密化されたテイヒミュラー空間から rigged moduli space への射影写像 $P_0$ を構成し、それが正則的かつ全射であり、局所正則的逆写像を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きリーマン面の精密化されたテイヒミュラー空間がヒルベルト多様体である条件は何か？
• RQ2 conformal field theory における rigged moduli space にヒルベルト多様体構造を与える方法は何か？
• RQ3 群作用と商の観点から、精密化されたテイヒミュラー空間と rigged moduli space の関係は何か？
• RQ4 精密化されたテイヒミュラー空間から標準的テイヒミュラー空間への包含写像が正則であることを示せるか？
• RQ5 正則写像に課すべき解析的条件は何か、その結果として rigged moduli space がヒルベルト多様体構造を有するか？

主な発見

• 型 $(g,n)$ の境界付きリーマン面の精密化されたテイヒミュラー空間は、$2g+2-n > 0$ のときヒルベルト多様体である。
• 精密化されたテイヒミュラー空間から標準的テイヒミュラー空間への包含写像は正則である。
• 非重複する正則写像を有するリーマン面の rigged moduli space は複素ヒルベルト多様体である。
• rigged moduli space は、properly discontinuous な群 $ ext{PModI}(\Sigma^B)$ の作用による精密化されたテイヒミュラー空間の商と biholomorphically equivalent である。
• 精密化されたテイヒミュラー空間から rigged moduli space への射影写像 $P_0$ は正則的であり、局所正則的逆写像を有する。
• rigged moduli space におけるヒルベルト多様体構造は、基底面および rigging の選択に依存しない。