[論文レビュー] A historical overview of pro cdh descent in algebraic $K$-theory and its relation to rigid analytic varieties

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は代数的K理論におけるpro cdh降下の歴史的概要を提供し、rigid analytic多様体へのK理論の拡張におけるその基盤的役割を確立する。Kerz, Strunk, Tammeによって一般に証明されたpro cdh降下は、Mayer–Vietoris降下を満たす連続K理論の局所的関手の構成を可能にし、非アーチメデス幾何における強固なK理論枠組みの構築を可能にする。

ABSTRACT

This note was prepared after the workshop on cdh descent and algebraic $K$-theory in Hara-mura, Japan (1 - 5 Sept. 2016), to complement the author's talk on the history and applications of pro cdh descent. In the final section pro cdh descent is used to define $K$-groups of rigid analytic varieties. This note was revised and released in light of Kerz, Strunk, and Tamme establishing pro cdh descent in general (arXiv:1611.08466).

研究の動機と目的

• pro excisionと抽象的吹き上げ平方から生じたpro cdh降下の歴史的発展をたどること。
• rigid analytic多様体におけるwell-behavedなK理論を可能にするpro cdh降下の役割を明確化すること。
• admissible開被覆に関してMayer–Vietoris降下を満たすrigid analytic空間上の連続K理論局所的関手を確立すること。
• pro cdh降下がrigid analytic設定におけるK理論の必要な降下性質をどのように示すかを示すこと。
• ホモトピー極限と降下構造を介して、形式的スキーム、rigid analytic幾何、非連結K理論の間の概念的・技術的ブリッジを提供すること。

提案手法

• 抽象的吹き上げ平方を、固有な準同型が閉じた部分スキームの外で同型を誘導するカルテジアン図式として定義する。
• pro abelian群による相対K理論を用いてpro cdh降下条件を適用し、π_*-モデル構造におけるproスペクトルの同型を要請する。
• proスペクトル上のπ_*-モデル構造における安定性条件を活用するが、qcqsスキーム上の負のK理論のnil不変性により、ここでは余分である。
• affinoid F代数 R に対して、K^{\text{cts}}(R) を K(R \otimes_{\mathcal{O}_F} \mathcal{O}_F/\pi^s) のホモトピー極限として構成する。
• 一般のqcqs rigid analytic多様体 X に対して、affinoid被覆上での超コホモロジー構成（例えば、ČechまたはGodement）を用いて K^{\text{cts}}(X) を定義する。
• Raynaudの同値とpro cdh降下を用いて、Zariski降下を満たす形式的スキーム上のcocartesian局所的関手と、admissible降下を満たすrigid analytic多様体上のそれらの間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的K理論におけるpro cdh降下は、古典的なpro excision問題とどのように関係しているか？
• RQ2 pro cdh降下の歴史的進化は何か？Kerz, Strunk, Tammeによる一般的証明に至る経緯は？
• RQ3 pro cdh降下を用いてrigid analytic多様体に対するwell-behavedなK理論を定義可能か？
• RQ4 rigid analytic空間上のスペクトルの局所的関手がMayer–Vietoris降下を満たすために必要な条件は何か？
• RQ5 K^{\text{cts}}(R) のホモトピー極限構成は、形式的スキームのK理論およびadmissible吹き上げとどのように関係しているか？

主な発見

• Kerz, Strunk, Tammeによって確立されたように、pro cdh降下はすべてのNoetherスキームの抽象的吹き上げ平方に対して普遍に成立する。
• すべての n \in \mathbb{Z} に対して、proアーベル群 \{K_n(X, X', Y_s)\}_s が消えることは、非連結K理論の文脈におけるpro cdh降下と同値である。
• rigid analytic F多様体上の連続K理論局所的関手 K^{\text{cts}} は、admissible開被覆に関してMayer–Vietoris降下を満たす。
• 任意のaffinoid rigid analytic空間 \operatorname{Sp} R に対して、K^{\text{cts}}(\operatorname{Sp} R) は、K(R \otimes_{\mathcal{O}_F} \mathcal{O}_F/\pi^s) のホモトピー極限として定義される K^{\text{cts}}(R) と弱同値である。
• 一般のqcqs rigid analytic X に対する K^{\text{cts}}(X) の構成は、ČechまたはGodement解体などの超コホモロジー枠組みと整合する。
• 形式的スキーム上のcocartesian局所的関手とrigid analytic多様体上のそれらの間の対応は、pro cdh降下によって誘導され、必要な降下性質を満たす一意な K^{\text{cts}}-理論の存在を保証する。