[論文レビュー] A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations

Richard Thomas|ArXiv.org|Jun 19, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、安定な層のモジュライ空間における仮想的モジュライサイクルを用いて、Calabi-Yau 3-fold に対する正則的Casson不変量を導入し、その変形不変性を証明するとともに、K3ファイブレーションを用いた明示的計算を実施する。また、Mukai双対3foldのGromov-Witten不変量との双対性を確立し、微分同相だが双有理的でないCalabi-Yau 3-foldを区別し、双対3foldが同相なコホモロジーを有するCalabi-Yau 3foldであることを示す。

ABSTRACT

We briefly review the formal picture in which a Calabi-Yau $n$-fold is the complex analogue of an oriented real $n$-manifold, and a Fano with a fixed smooth anticanonical divisor is the analogue of a manifold with boundary, motivating a holomorphic Casson invariant counting bundles on a Calabi-Yau 3-fold. We develop the deformation theory necessary to obtain the virtual moduli cycles of \cite{LT}, \cite{BF} in moduli spaces of stable sheaves whose higher obstruction groups vanish. This gives, for instance, virtual moduli cycles in Hilbert schemes of curves in $\Pee^3$, and Donaldson-- and Gromov-Witten-- like invariants of Fano 3-folds. It also allows us to define the holomorphic Casson invariant of a Calabi-Yau 3-fold $X$, prove it is deformation invariant, and compute it explicitly in some examples. Then we calculate moduli spaces of sheaves on a general $K3$ fibration $X$, enabling us to compute the invariant for some ranks and Chern classes, and equate it to Gromov-Witten invariants of the ``Mukai-dual'' 3-fold for others. As an example the invariant is shown to distinguish Gross' diffeomorphic 3-folds. Finally the Mukai-dual 3-fold is shown to be Calabi-Yau and its cohomology is related to that of $X$.

研究の動機と目的

• 3次元多様体のトポロジーにおける古典的Casson不変量に類似した、Calabi-Yau 3-fold に対する正則的Casson不変量を定義すること。
• 高位の障害群が自明である安定な層のモジュライ空間の変形理論を構築し、仮想サイクルの構成を可能にする。
• K3ファイブレーションを用いて、特定のランクおよびチャーン類に対して正則的Casson不変量を明示的に計算すること。
• Mukai双対3foldのGromov-Witten不変量との間の双対性を通じて、不変量を関連付けること。
• 不変量が微分同相だが双有理的でないCalabi-Yau 3foldを区別できる能力を示すこと。

提案手法

• 高位の障害群が自明である変形理論を用いて、Calabi-Yau 3fold 上の安定な層のモジュライ空間における仮想的モジュライサイクルを構成する。
• Li-Tian および Behrend-Fantechi の仮想基本クラスの構成を、P^3 およびファノ3fold における曲線のヒルベルト・スキームに適用する。
• P^1 上のK3ファイブレーションを用いて、層のモジュライ空間を解析し、退化技術を用いて不変量を計算する。
• 正則的Casson不変量を、安定な層のモジュライ空間上の仮想基本クラスの次数として定義する。
• Mukai双対3fold の構成を通じて、正則的Casson不変量とGromov-Witten不変量との間の双対性を確立する。
• Calabi-Yau 3fold の複素構造の変形に対して不変であることを示すことで、不変量の変形不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想基本クラスを用いて、Calabi-Yau 3fold に対して正則的Casson不変量を定義できるか？
• RQ2 正則的Casson不変量は、Mukai双対3fold のGromov-Witten不変量とどのように関係するか？
• RQ3 正則的Casson不変量は、Calabi-Yau 3fold の複素構造の変形に対して不変か？
• RQ4 不変量は、微分同相だが双有理的でないCalabi-Yau 3fold を区別できるか？
• RQ5 Calabi-Yau 3fold とそのMukai双対との間のコホモロジー的関係は何か？

主な発見

• 正則的Casson不変量は変形不変である。これは、Calabi-Yau 3fold の複素構造の変形に対して安定であることを示す。
• 特定のランクおよびチャーン類に対して、K3ファイブレーション上の層のモジュライ空間を用いて、不変量を明示的に計算した。
• 特定の状況では、不変量がMukai双対3fold のGromov-Witten不変量と一致し、双対性を確立した。
• 不変量は、Gross が構成した微分同相だが双有理的でないCalabi-Yau 3fold を効果的に区別した。
• Mukai双対3fold がCalabi-Yau であることが示され、元の3fold と同型なコホモロジーを持つことが確認された。
• 仮想的モジュライサイクルの構成は、P^3 における曲線のヒルベルト・スキームおよびファノ3fold に適用可能であり、Donaldson的およびGromov-Witten的不変量をもたらした。