[論文レビュー] A Holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with weight one Lie algebra $F_{4,6}A_{2,2}$

Ching Hung Lam, Xingjun Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、中心指数24の正則な頂点演算子代数（VOA）を、一意に存在する重み1のリー代数 $A_{8,3}A_{2,1}^2$ を持つ正則なVOAに $Z_2$-オルビフォールド構成を適用することにより、重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つ正則なVOAを構成する。著者らはこのVOAの一意性を確立し、この手法を $E_{7,3}A_{5,1}$ を持つVOAに対しても拡張し、シュェレケンスのリストに記載された71個のリー代数がすべて、中心指数24の強く正則な正則なVOAの重み1部分代数として実現されることを完了する。

ABSTRACT

In this paper, a holomorphic vertex operator algebra $U$ of central charge 24 with the weight one Lie algebra $A_{8,3}A_{2,1}^2$ is proved to be unique. Moreover, a holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with weight one Lie algebra $F_{4,6}A_{2,2}$ is obtained by applying a $\mathbb{Z}_2$-orbifold construction to $U$. The uniqueness of such a vertex operator algebra is also established. By a similar method, we also established the uniqueness of a holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with the weight one Lie algebra $E_{7,3}A_{5,1}$. As a consequence, we verify that all $71$ Lie algebras in Schellekens' list can be realized as the weight one Lie algebras of some holomorphic vertex operator algebras of central charge $24$. In addition, we establish the uniqueness of three holomorphic vertex operator algebras of central charge $24$ whose weight one Lie algebras have the type $A_{8,3}A_{2,1}^2$, $F_{4,6}A_{2,2}$, and $E_{7,3}A_{5,1}$.

研究の動機と目的

• 中心指数24の正則な頂点演算子代数（VOA）を、重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つように構成し、これはシュェレケンスのリストにおける71通りの可能性のうち最後に残っていたケースである。
• $Z_2$-オルビフォールド構成と持ち上げ技術を用いて、このVOAが同型を除いて一意であることを証明する。
• $F_{4,6}A_{2,2}$ の場合に用いた手法を拡張し、重み1のリー代数 $E_{7,3}A_{5,1}$ を持つ正則なVOAの同型を除いた一意性を証明する。これによりシュェレケンスのリストのすべての71ケースの検証が完了する。

提案手法

• 重み1のリー代数 $A_{8,3}A_{2,1}^2$ を持つ正則なVOA $U$ に、固定点リー代数が $B_{4,6}A_{2,2}$ であるような対合 $g$ を用いて $Z_2$-オルビフォールド構成を適用する。
• VOAのミラー拡張構成を用いて、$U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$ を持つ中心指数24の正則なVOA $U$ の一意性を確立する。
• 島久の持ち上げ基準の一般化を用いて、リー代数 $U_1$ の外部自己同型を、全VOA $U$ の自己同型に持ち上げる。
• $U_1$ に自明に作用する自己同型を分析することにより、『逆オルビフォールド』法を用いて、重み1のリー代数が $F_{4,6}A_{2,2}$ および $E_{7,3}A_{5,1}$ であるVOAの同型を除いた一意性を証明する。
• 共形次元の計算とモジュラー不変性を用いて、 twisted モジュールの構造を検証し、オルビフォールド構成が正則なVOAをもたらすことを保証する。
• $U$ 上の対合が $U_1$ に同じ作用をもたらす場合、それらが共役であることを確立し、オルビフォールド商の同型を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心指数24の正則な頂点演算子代数で、重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つものが、シュェレケンスの71通りの可能性のうち最後に残っていたケースとして明示的に構成可能か？
• RQ2 重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つ正則なVOAは、同型を除いて一意的か？
• RQ3 $F_{4,6}A_{2,2}$ の場合に用いた手法を、$E_{7,3}A_{5,1}$ の場合にも適用して、同型を除いた一意性を証明できるか？
• RQ4 VOAの部分リー代数の外部自己同型が、VOA全体の自己同型に持ち上げられるための条件は何か？
• RQ5 『逆オルビフォールド』構成は、得られるVOAの一意性を証明するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 中心指数24の正則な頂点演算子代数で、重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つものが、一意に存在する正則なVOA $U$（$U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$）に $Z_2$-オルビフォールド構成を適用することにより構成された。
• 重み1のリー代数 $U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$ を持つVOA $U$ が、ミラー拡張およびモジュラー不変性の技術を用いて、同型を除いて一意に存在することが証明された。
• この構成は、$U_1$ の外部自己同型を $U$ の自己同型に持ち上げることに依存しており、一般化された持ち上げ基準により達成された。
• 重み1のリー代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ を持つ正則なVOAの一意性は、逆オルビフォールド法により確立され、任意の2つのこのようなVOAが同型であることが示された。
• 同様の手法を用いて、重み1のリー代数 $E_{7,3}A_{5,1}$ を持つ正則なVOAの一意性も証明され、シュェレケンスのリストに記載されたすべての71個のリー代数の実現が完了した。
• シュェレケンスのリストに記載されたすべての71個のリー代数が、今や中心指数24の強く正則な正則な頂点演算子代数の重み1部分代数として実現された。