[論文レビュー] A Homeomorphism Invariant for Substitution Tiling Spaces

Nic Ormes, Charles Radin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2000

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、平面における置換タイル張りのためのホメオモルフィズム不変量を、置換の面積拡張係数λから導かれる順序構造を持つČechコホモロジーの商を用いて導入する。この不変量は、コホモロジー写像の像と、Q[λ]またはZ[1/λ]の環構造に基づくものであり、ピンホイール型の系を含む、位相的に区別可能なタイル張り空間を区別する。特に、同相な空間ではλとλ′が同じ数体または環を生成しなければならないことが示され、λが無理数または整数でない場合でも成立する。

ABSTRACT

We derive a homeomorphism invariant for those tiling spaces which are made by rather general substitution rules on polygonal tiles, including those tilings, like the pinwheel, which contain tiles in infinitely many orientations. The invariant is a quotient of Cech cohomology, is easily computed directly from the substitution rule, and distinguishes many examples, including most pinwheel-like tiling spaces. We also introduce a module structure on cohomology which is very convenient as well as of intuitive value.

研究の動機と目的

• 置換タイル張り空間のための位相的不変量を構築し、特に無限個のタイル向きをもつようなもの（例：ピンホイールタイリング）を区別すること。
• 多くのあるいは無限個のコラージュタイルをもつタイリング空間において、Čechコホモロジーを直接計算することが困難であるという問題に対処すること。
• 置換の伸長係数λから導かれる正の錐を用いて、上位次元のČechコホモロジーに順序構造を定義すること。
• この順序構造がホメオモルフィズムのもとで不変であることを証明し、λの代数的性質を用いてタイリング空間の位相的区別を可能にすること。
• この不変量が本質的な幾何的データ（例：λ）を捉えており、かつ従来まで区別できなかったタイリング空間（たとえ位相的共役であっても）を区別できることを示すこと。

提案手法

• タイル張り空間の上位次元Čechコホモロジー群を、置換のもとでのコラージュタイルに関連するコチェイン群の逆極限として定義する。
• コホモロジー群からRへの実数値準同型μを定義し、置換の面積拡張係数λを用いて、コホモロジー類を実数に写像する。
• μによる非負実数の逆像としてコホモロジー内の正の錐を定義し、これによりコホモロジー群を順序付いたアーベル群とする。
• μの像を用いて代数的不変量を定義する：λが無理数の場合はQ[λ]、λが整数の場合はZ[1/λ]とする。
• コホモロジー群の順序型（正の錐を含む）がタイリング空間のホメオモルフィズムのもとで不変であることを証明する。
• 順序同型がコホモロジー群間で成立する場合、λに伴う数体Q[λ]または環Z[1/λ]が等しくなることを利用し、その事実を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換タイル張り空間のČechコホモロジーに、計算可能でホメオモルフィズム不変な代数的構造を定義できるか、特に無限個のタイル向きをもつものに対しては。
• RQ2 置換規則の面積拡張係数λが、特定のタイリングやコラージュに依存しないタイリング空間の位相的不変量を定めるか。
• RQ3 この不変量は、ピンホイールタイリングと(2,3)-ピンホイールタイリングのような、位相的共役でないタイリング空間を区別できるか。
• RQ4 逆極限と伸長係数λから導かれるコホモロジー上の順序構造は、タイリング空間のホメオモルフィズムのもとで保存されるか。
• RQ5 2つの置換タイリング空間が同相であるための、λとλ′に関する代数的条件は何か。これは、それらのコホモロジック的不変量に基づく。

主な発見

• 2つの置換タイリング空間が同相であり、かつその置換規則の伸長係数λとλ′が整数である場合、Z[1/λ] = Z[1/λ′]が成り立ち、λとλ′が同じ素因数を持つことを意味する。
• λが整数でない場合、λとλ′は無理数でなければならず、Q[λ] = Q[λ′]を満たす必要がある。これは、Q上に同じ数体を生成することを意味する。
• この不変量は、ピンホイールタイリングと(2,3)-ピンホイールタイリングのような、従来まで位相的共役でさえも区別できなかったタイリング空間を効果的に区別できる。
• 正の錐を用いて定義されたコホモロジー上の順序構造はホメオモルフィズムのもとで不変であり、置換規則から直接計算可能である。
• コホモロジー群はZ[1/λ]またはQ[λ]上の自然な加群構造をもっており、計算上も有用で、位相的にも意味を持つ。
• 証明は、コホモロジー群間の順序同型がμ値の比を保存することを示すことに依拠し、これにより関連する数体または環の代数的等価性が導かれる。