[論文レビュー] A Homological dimension related to AB rings

Tokuji Araya|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アウスランダー条件を満たすゴレンシュタイン環であるAB環と密接に関連する新しいホモロジー的不変量であるAB次元を導入する。AB次元が深さ公式を満たし、CI次元とG次元の間に位置することを確立し、有限AB次元をもつモジュールに対してはアウスランダー＝ライテン予想が成り立つことを示す。主な貢献は、モジュールMが有限AB次元をもち、Ext^{>0}(M,M)=0を満たすならば、Mは自由であることを証明したことである。

ABSTRACT

There are many homological dimensions which are closely related to ring theoretic properties. The notion of a AB ring has been introduced by Huneke and Jorgensen. It has nice homological properties. In this paper, we shall define a homological dimension which is closely related to a AB ring, and investigate its properties.

研究の動機と目的

• AB環の構造的性質を捉える新しいホモロジー次元、AB次元を定義すること。
• AB次元と既存のホモロジー次元（CI次元、G次元など）との関係を調査すること。
• AB次元が有限となる条件を確立し、モジュール論的性質を用いてAB環を特徴付けること。
• AB次元が有限でかつExt^{>0}(M,M)=0を満たすモジュールが自由であることを証明し、アウスランダー＝ライテン予想を支援すること。

提案手法

• AB次元は、G次元とP_R(M)の上限として定義され、P_R(M) = sup{P_R(M,N) | N ∈ M^⊥}である。
• 論文は、最小自由分解とシンジーガモジュールを用いて、Extモジュールの振る舞いを分析し、P_R(M,N)を定義する。
• コhen-Macaulay近似と完全反射的モジュールの性質を応用し、AB次元を深さおよびG次元と関連付ける。
• Extの消滅と深さ公式に関する補題を用いて、AB次元が深さ公式を満たすことを証明する：AB-dim_R(M) = depth R - depth M（有限のとき）。
• 定理1.3の証明では背理法を用いる。Mが自由でないと仮定すると、Ext^1(M,ΩM)が消えないことになり、仮定のもとでP_R(M,ΩM)=0であることに矛盾する。
• 非Cohen-Macaulay環上の周期的モジュールを用いた反例を構成することで、AB-dim > G-dimが成立することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた可換ノエター局域環上のモジュールに対して、AB次元がいつ有限になるか。
• RQ2 AB次元はホモロジー次元の鎖においてCI次元およびG次元とどのように関係するか。
• RQ3 拡大に関して閉じており、有限AB次元をもつモジュール類として特徴付けられるAB環は何か。
• RQ4 Ext^{>0}(M,M)=0という条件は、有限AB次元をもつモジュールに対して自由性を示唆するか。
• RQ5 AB次元を用いてアウスランダー＝ライテン予想を検証または拡張できるか。

主な発見

• AB次元は深さ公式を満たす：AB-dim_R(M) < ∞ ならば、AB-dim_R(M) = depth R - depth M である。
• 任意のモジュールMに対して、CI-dim_R(M) ≥ AB-dim_R(M) ≥ G-dim_R(M) が成り立ち、ホモロジー次元の階層における新たな位置を確立する。
• R-モジュールMが有限AB次元をもち、Ext^{>0}_R(M,M)=0を満たすならば、Mは自由である。これはアウスランダー＝ライテン予想の特殊ケースを確認する。
• AB次元が無限大だがG次元が有限であるようなモジュールが存在し、AB次元がG次元よりも厳密に強いことを示す。
• Rがコンプリートインターセクションであれば、RはAB環であり、すべてのモジュールが有限AB次元をもつ。これはGorenstein環に関する既知の結果を一般化する。
• 有限AB次元をもつモジュールのクラスが拡大に関して閉じているのは、Rがゴレンシュタインであり、すべての有限長モジュールでAB次元が有限であるとき、かつそのときに限る。