[論文レビュー] A Homotopy Theory for Graphs

Eric Babson, Hélène Barcelo+2 more|ArXiv.org|Mar 9, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、3次元および4次元サイクルに2セルを貼り付けることによって構成される無限セル複体 $X_\Gamma$ を用いて、グラフのホモトピー理論を構築する。3次元および4次元サイクルに2セルを貼り付けることによって構成される無限セル複体 $X_\Gamma$ を用いて、グラフ $\Gamma$ の $n$-番目の $A$-群が、$X_\Gamma$ の $n$-番目の古典的ホモトピー群に同型であることを示す。この同型が成り立つための条件として、単体的近似定理の立方体版が成り立つことを仮定する。主な貢献は、$A_{n+1}(\Gamma)$ と $A_n(\Omega\Gamma)$ の間に自然な同型が存在することであり、これは古典的ループ空間ホモトピー同値と類似している。

ABSTRACT

The recently introduced A-homotopy groups for graphs are investigated. The main concern of the present article is the construction of an infinite cell complex, the homotopy groups of which are isomorphic to the A-homotopy groups of the given graph. We present a natural candidate for such a cell complex, together with a homomorphism between the corresponding groups that indeed yields an isomorphism, if a cubical analog of the simplicial approximation theorem holds, which - so far - we were unable to prove.

研究の動機と目的

• 単体的複体の $A$-理論をグラフへ一般化するため、位相的モデル空間を構築すること。
• 群 $A_n(\Gamma, v_0)$ から古典的ホモトピー群 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$ への準同型を確立すること。
• 単体的近似定理の立方体版が成り立つ仮定のもとで、この準同型が同型であることを証明すること。
• ループグラフ構成を導入し、$A$-群についてループ空間型同型を証明することにより理論を拡張すること。
• $X_\Gamma$ の特異ホモロジーを用いて、$A$-理論に関連するホモロジー理論の基礎を提供すること。

提案手法

• グラフ $\Gamma_q(\Delta)$ のすべての3次元および4次元サイクルに2セルを貼り付け、以前の構成を一般化してモデル空間 $X_\Gamma$ を構成する。
• $A_n(\Gamma, v_0)$ を、$n$-立方体 $I^n_m$ から $\Gamma$ へのグラフ準同型のホモトピー類の集合として定義する。ただし、境界と基点は固定される。
• パスグラフ $I_m$ のカルテシアン積を用いて高次元の立方体を定義し、$\Gamma$ へのグラフ準同型によるホモトピーを定義する。
• 頂点が $\Gamma$ のループであるループグラフ $\Omega\Gamma$ を定義し、写像 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$ を定義する。
• 明示的な $A$-ホモトピーを構成し、境界拡張性質を用いて、写像 $[f] \mapsto [\alpha(f)]$ の自然性と全単射性を証明する。
• 同型結果の鍵となる仮定として、単体的近似定理の立方体版（性質6.1）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの $A$-ホモトピー群は、そのグラフから構成された位相空間の古典的ホモトピー群と自然に同型であるか？
• RQ2 グラフの $A$-理論は、無限セル複体 $X_\Gamma$ を用いて位相的実現可能か？
• RQ3 ループ空間の構成がグラフに対して可能であり、$A_{n+1}(\Gamma) \cong A_n(\Omega\Gamma)$ が成り立つか？（古典的ホモトピー理論と類似）。
• RQ4 自然な準同型 $A_n(\Gamma) \to \pi_n(X_\Gamma)$ が同型となるための条件は何か？
• RQ5 グラフの $A$-理論は、$k$-等しい配置の補集合のホモトピーとどのように関係するか？

主な発見

• 立方体的近似定理の類似が成り立つ限り、$A_n(\Gamma, v_0)$ 群は構成されたセル複体 $X_\Gamma$ の古典的ホモトピー群 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$ に同型である。
• 写像 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$ を $\alpha(f)(x,y) = f(x)(y)$ で定義すると、$A_{n+1}(\Gamma)$ と $A_n(\Omega\Gamma)$ の間に自然な同型が誘導される。
• $\Gamma_q(\Delta)$ の3次元および4次元サイクルに2セルを貼り付けることによる $X_\Gamma$ の構成により、$A_1$-群が得られる空間の基本群として実現される。
• $A$-ホモトピーの同値関係によって誘導される同値類として、$A$-ホモトピー群は $n \geq 1$ に対して適切に定義され、群構造をなす。
• ループグラフ $\Omega\Gamma$ は $\Gamma$ のループのグラフとして定義され、$A$-理論は古典的ホモトピー理論と類似したループ空間双対性を満たす。
• 連結成分のループからそのホモトピー類への写像 $A_0(\Omega G) \to A_1(G)$ は、well-defined な双射である。