[論文レビュー] A Homotopy Theory for Stacks

Sharon Hollander|ArXiv.org|Oct 22, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー限界を用いて降下条件を形式化することで、群送関手のホモトピー層としてのスタックを特徴づけるホモトピー論的基礎を確立する。プレシアフ・群送関手の圏に、スタックがファイブレント対象となるホモトピー同値なモデル圏構造を構成し、古典的なスタック構成をホモトピー論に統合する。

ABSTRACT

We give a homotopy theoretic characterization of stacks on a site $\cC$ as the {\it homotopy sheaves} of groupoids on $\cC$. We use this characterization to construct a model category in which stacks are the fibrant objects. We compare different definitions of stacks and show that they lead to Quillen equivalent model categories. In addition, we show that these model structures are Quillen equivalent to the $S^2$-nullification of Jardine's model structure on sheaves of simplicial sets on $\cC$.

研究の動機と目的

• スタックをホモトピー群送関手のホモトピー層として再定義することで、スタックのホモトピー論的解釈を提供すること。
• スタックにおける同型類が古典的層条件を満たさない問題を、通常の限界ではなくホモトピー限界を用いることで解決すること。
• 群送関手に沿ったファイブレート圏および群送関手のプレシアフに、弱同値をファイブレワイズまたはオブジェクトワイズ同値とするモデル圏構造を構成すること。
• 得られたモデル圏がホモトピー同値であることを示し、スタックの異なるカテゴリカル枠組み間の翻訳を可能にすること。
• スタック、プレシアフ、群送関手の層の局所化モデル構造がホモトピー同値であり、スタックがファイブレント対象となることを示すこと。

提案手法

• スタックをホモトピー限界条件で定義する：任意の被覆 $ \{U_i \to X\} $ に対して、プレシアフ $ F $ がスタックであるとは $ F(X) \simeq \operatorname{holim}(\prod F(U_i) \rightrightarrows \prod F(U_{ij}) \leftarrow \cdots) $ を満たすこと。
• $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C} $ および $ P(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd}) $ に、群送関手のファイブレワイズまたはオブジェクトワイズ同値を弱同値とするモデル圏構造を構成する。
• ファイブレート圏のモデル圏とプレシアフのモデル圏の間で、随伴対 $ (\Gamma, p) $ を用いてホモトピー同値を確立する。
• モデル構造を局所化して、スタックが正確にファイブレント対象となる新しいモデル圏を構成する。
• プレシアフの局所化モデル構造が、Jardineのシムプレキシャル集合値層のモデル構造の $ S^2 $-ノルム化とホモトピー同値であることを示す。
• 圏のホモトピー論を用いて、$ \mathcal{Cat} $ における押し出しは特定の条件下で全単射同値を保存することを証明し、ホモトピーコロイドの構成を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー限界を用いて、スタックをホモトピー群送関手のホモトピー層として内因的に特徴づけることができるか？
• RQ2 ファイブレート圏およびラックスプレシアフとしてのスタックの古典的定義は、ホモトピー論的枠組みにおいてホモトピー同値であるか？
• RQ3 スタックがファイブレント対象となるような、群送関手のプレシアフにモデル圏構造が存在するか？
• RQ4 スタックのモデル圏は、Jardineのシムプレキシャル集合値層のモデル構造の $ S^2 $-ノルム化とホモトピー同値であるか？
• RQ5 スタック構成（例えば2次引き戻し、スタック化）のホモトピー論的解釈を関手的かつ一貫的にできるか？

主な発見

• スタックは正確に群送関手のホモトピー層である：任意の被覆 $ \{U_i \to X\} $ に対して、プレシアフ $ F $ がスタックであるとは $ F(X) \simeq \operatorname{holim}(\prod F(U_i) \rightrightarrows \prod F(U_{ij}) \leftarrow \cdots) $ を満たすこと。
• ファイブレワイズ同値を弱同値とする $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C} $ のモデル圏構造において、スタックはファイブレント対象である。
• ファイブレート圏とプレシアフの間の随伴対 $ (\Gamma, p) $ はホモトピー同値であり、ホモトピー理論の同値性を示している。
• $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C}_L $、$ P(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd})_L $、$ Sh(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd})_L $ の局所化モデル構造はホモトピー同値であり、スタックがファイブレント対象である。
• 群送関手のプレシアフのモデル構造は、Jardineのシムプレキシャル集合値層のモデル構造の $ S^2 $-ノルム化とホモトピー同値である。
• $ \mathcal{Cat} $ において、モノイド性のオブジェクト上での全単射同値の押し出しは、依然として全単射同値のままである。これはホモトピーコロイド構成のための重要な技術的結果である。