[論文レビュー] A homotopy theory of additive categories with suspensions

Zhiwei Li|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所化三重対と前部分三角構造を用いて、加法的圏に自己同型作用を備えたホモトピー理論を構築し、弱くイドムポテン全な完全圏における完全モデル構造のホモトピー圏が、コフレアント・フレアント対象の部分因子圏と前三角的圏として同値であることを確立する。この枠組みはホーヴェイ三重対を一般化し、モデル構造に依存しない前三角的ホモトピー圏の構成を提供する。

ABSTRACT

We develop a homotopy theory for additive categories endowed with endofunctors, analogous to the concept of a model structure. We use it to construct the homotopy theory of a Hovey triple (which consists of two compatible complete cotorsion pairs) in an arbitrary exact category. We show that the homotopy category of an exact model structure (in the sense of Hovey) in a weakly idempotent complete exact category is equivalent to the subfactor category of cofibrant-fibrant objects as pre-triangulated categories.

研究の動機と目的

• Quillenのモデル構造に依存せずに、自己同型作用を備えた加法的圏にホモトピー理論を構築すること。
• ホーヴェイ三重対を用いた完全モデル圏におけるホモトピー圏の構成を一般化すること。
• 完全モデル構造のホモトピー圏が、コフレアント・フレアント対象の部分因子圏と前三角的圏として同値であることを示すこと。
• 前部分三角的構造の枠組みを用いて、ホモトピー圏に前三角的構造を確立すること。
• 代数および幾何学における片側三角的構造とホモトピー圏に関する既存の結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 加法的圏 A における局所化三重対 (C, X, F) の概念を導入する。ここで C, X, F は特定の条件を満たす全加法的部分圏である。
• ホモトピー圏 Ho(C, X, F) を A[S⁻¹] として定義し、これは部分因子圏 (C ∩ F)/X に同値である。
• 部分左三角的構造と部分右三角的構造を組み合わせ、整合性条件を満たす前部分三角的圏の概念を定義する。
• 前部分三角的構造を用いて、(C ∩ F)/X が前三角的構造を誘導することを証明する。
• ホーヴェイ三重対 (C, W, F) を完全圏に適用し、X = C ∩ W ∩ F とおくことで (C, X, F) が局所化三重対をなすことを示す。
• 完全モデル構造 M のホモトピー圏 Ho(M) が、前三角的圏として (C ∩ F)/X に同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Quillenのモデル構造に依存せずに、自己同型作用を備えた加法的圏にホモトピー理論を構築できるか？
• RQ2 任意の完全圏におけるホーヴェイ三重対のホモトピー圏を、モデル構造に依存せずに構成できるか？
• RQ3 ホーヴェイ三重対から誘導される構造を備えた、コフレアント・フレアント対象の部分因子圏 (C ∩ F)/X は前三角的圏か？
• RQ4 ホモトピー圏の標準的な前三角的構造と、(C ∩ F)/X に誘導される前三角的構造は一致するか？
• RQ5 完全モデル構造のホモトピー圏と部分因子圏 (C ∩ F)/X の間の同値性を、三角的構造を保存する埋め込みによって確立できるか？

主な発見

• 局所化三重対 (C, X, F) に付随するホモトピー圏 Ho(C, X, F) は、部分因子圏 (C ∩ F)/X に同値である。
• A が前部分三角的圏 (A, Ω, Σ, L(F), R(C), X) を備えるならば、(C ∩ F)/X は前三角的圏である。
• 任意の完全圏 (A, E) におけるホーヴェイ三重対 (C, W, F) に対して、X = C ∩ W ∩ F とおくと、三重対 (C, X, F) は局所化三重対である。
• 構造 (0, 0, L(F), R(C), X) を備えた圏 A は前部分三角的圏をなす。
• ホーヴェイ三重対によって誘導される完全モデル構造 M のホモトピー圏 Ho(M) は、前三角的圏として (C ∩ F)/X に同値である。
• 埋め込み (C ∩ F)/X ↪ Ho(M) は左三角的構造および右三角的構造を両方保存するため、完全な三角的同値が保証される。