[論文レビュー] A hybrid algorithm for coupling PDE and compartment-based dynamics

Jonathan U. Harrison, Christian A. Yates|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

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ひとこと要約

本稿では、計算効率と確率的精度の両立を図るために、確率的コンpartimentベースの反応拡散モデルと決定的偏微分方程式（PDE）モデルを結合するハイブリッドアルゴリズムを提示する。一方の界面でフラックス連続性（flux continuity）を、他方の界面で濃度一致（Dirichlet型）の境界条件を用いる空間的重複領域を導入することで、2つのモデル間で滑らかに物質移動が可能となり、シミュレーション時間を最大5倍短縮しつつ、時間経過に伴い増大しない低く偏りのない誤差を維持することができる。

ABSTRACT

Stochastic simulation methods can be applied successfully to model exact spatio-temporally resolved reaction-diffusion systems. However, in many cases, these methods can quickly become extremely computationally intensive with increasing particle numbers. An alternative description of many of these systems can be derived in the diffusive limit as a deterministic, continuum system of partial differential equations. Although the numerical solution of such partial differential equations is, in general, much more efficient than the full stochastic simulation, the deterministic continuum description is generally not valid when copy numbers are low and stochastic effects dominate. Therefore, to take advantage of the benefits of both of these types of models, each of which may be appropriate in different parts of a spatial domain, we have developed an algorithm that can be used to couple these two types of model together. This hybrid coupling algorithm uses an overlap region between the two modelling regimes. By coupling fluxes at one end of the interface and using a concentration-matching condition at the other end, we ensure that mass is appropriately transferred between PDE- and compartment-based regimes. Our methodology gives notable reductions in simulation time in comparison with using a fully stochastic model, whilst maintaining the important stochastic features of the system and providing detail in appropriate areas of the domain. We test our hybrid methodology robustly by applying it to several biologically motivated problems including diffusion and morphogen gradient formation. Our analysis shows that the resulting error is small, unbiased and does not grow over time.

研究の動機と目的

• 粒子数が多い場合の完全確率的モデルの計算非効率性を解消しつつ、低数粒子領域における確率的忠実性を保持すること。
• 反応拡散系において、コンパートメントベースの確率的モデルとPDEベースの決定的モデルの間の強固な結合手法を開発すること。
• 物理的に整合性のある境界条件を用いて、2つのモデル間の正確な物質移動を保証すること。
• 拡散および形態形成グレードの形成といった生物学的に関連性のある問題に対して、ハイブリッド手法の妥当性を検証すること。
• ハイブリッド手法によって生じる誤差が小さく、偏りがなく、時間経過に伴い増大しないことを示すこと。

提案手法

• PDEモデルとコンパートメントベースのモデルが重複する空間的領域を設け、2つのモデル間の滑らかな遷移を可能にする。
• 物質保存則を満たすために、一方の界面でフラックス連続性を強制する。
• 反対側の界面では、Dirichlet型の濃度一致条件を適用し、両モデル間の平均濃度を一致させる。
• PDEメッシュはコンパートメント格子よりも著しく細かく設定されており、PDE領域での高い数値的精度を実現しつつ、計算コストが著しく増大しない。
• 境界条件の解析を通じて、数学的に整合性と安定性が保証されている。
• さらなる計算性能向上を図るため、動的インターフェースを導入している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDEとコンパートメントベースのダイナミクスを組み合わせたハイブリッドモデルは、完全確率的モデルと比較してシミュレーション時間を著しく短縮しつつ、低誤差を維持できるか？
• RQ2 コンパートメントサイズ、PDE離散化、重複領域サイズの変化が、ハイブリッド結合の精度と安定性に与える影響は何か？
• RQ3 低数粒子領域では確率的特徴を保持しつつ、高数粒子領域では計算効率を発揮できるか？
• RQ4 結合プロセスによって生じる誤差は小さく、偏りがなく、時間経過に伴い増大しないか？
• RQ5 本手法は、形態形成グレードの形成といった生物学的に関連性のある系に、安定して適用可能か？

主な発見

• 標準的なテスト問題において、ハイブリッドアルゴリズムは完全確率的モデルと比較して、シミュレーション時間を約5倍短縮した。
• ハイブリッド解と解析解との間の総誤差は小さく、時間経過に伴い増大しないことから、長期的な安定性が示された。
• 重複領域内のコンパートメント数の変更に関係なく誤差が一定であることから、インターフェース設計に対して頑健であることが示された。
• コンパートメントサイズ（h）が大きくなると、予想通り確率的誤差が増加するが、完全確率的モデルの挙動と整合的である。
• 拡散および形態形成グレードの形成を含む複数のテストケースにおいて、低く偏りのない誤差を維持しており、信頼性が確認された。
• フラックスベースの結合条件と濃度一致条件により、2つのモデル間での正確な物質移動と物理的一致性が確保された。