[論文レビュー] A hybrid Fourier--Real Gaussian Mixture method for fast galaxy--PSF convolution

Dustin Lang|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本論文では、画素化された点拡がかり関数（PSF）と銀河プロファイルの高速かつ高精度な畳み込みを実現するハイブリッド・フーリエ–実空間ガウス混合手法を提案する。一般的な銀河プロファイル（例：de Vaucouleurs、Sérsic）をガウス関数の混合で近似することで、高周波成分に対してはフーリエ変換の効率を活用し、低周波成分に対しては実空間畳み込みを適用する。これにより、アリヤシングやスーパーレゾリューションのコストを回避しながら、混合近似内での正確性を維持する。

ABSTRACT

I present a method for the fast convolution of a model galaxy profile by a point-spread function (PSF) model represented as a pixel grid. The method relies upon three observations: First, most simple radial galaxy profiles of common interest (deVaucouleurs, exponential, Sersic) can be approximated as mixtures of Gaussians. Second, the Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian, thus the Fourier transform of a mixture-of-Gausssian approximation of a galaxy can be directly evaluated as a mixture of Gaussians in Fourier space. Third, if a mixture component would result in Fourier-space aliasing, that component can be evaluated in real space. For mixture components to be evaluated in Fourier space, we use the FFT for the PSF model, direct evaluation of the Fourier transform for the galaxy, and the inverse-FFT to return the result to pixel space. For mixture components to be evaluated in real space---which only happens when the mixture components is much larger than the PSF---we use a simple Gaussian approximation of the PSF, perform the convolution analytically, and evaluate in real pixel space. The method is fast and exact (to the extent that the mixture-of-Gaussians approximation of the galaxy profile is exact) as long as the pixelized PSF model is well sampled. This Fourier method can be seen as a way of applying a perfect low-pass filter to the (typically strongly undersampled) galaxy profile before convolution by the PSF, at exactly the Nyquist frequency of the PSF pixel model grid. In this way, it avoids the computational expense of a traditional super-resolution approach. This method allows the efficient use of pixelized PSF models (ie, a PSF represented as a grid of pixel values) in galaxy forward model-fitting approaches such as the Tractor.

研究の動機と目的

• 宇宙背景画像シミュレーションにおける、アンダーサンプリングされた銀河プロファイルと画素化されたPSFとの畳み込みにおける計算ボトルネックを解消すること。
• フーリエ空間での銀河プロファイル畳み込みにおいて、スーパーレゾリューションレンダリングや高価なルックアップテーブルの必要性を排除すること。
• 任意のPSFモデル（画素グリッドとして表現）と、ガウス混合近似内での正確で高速な銀河プロファイル畳み込みを可能にすること。
• 計算コストを最小限に抑えつつ正確性を保持することで、大規模な調査におけるスケーラブルなフォワードモデリングを支援すること。

提案手法

• 一般的な銀河表面輝度プロファイル（例：de Vaucouleurs、Sérsic、指数型）を有限個のガウス関数の混合で近似する。
• 混合物にフーリエ変換を適用する。ガウス関数のフーリエ変換がガウス関数であることに着目し、銀河のフーリエ変換をフーリエ空間におけるガウス関数の混合として得る。
• FFTによる変換でアリヤシングを引き起こす可能性のある混合成分については、解析的ガウス畳み込みを用いて直接実空間で畳み込みを評価する。
• PSFのフーリエ変換をFFTで計算し、銀河のフーリエ変換とフーリエ空間で乗算し、逆FFTを適用してピクセル空間に戻す。
• 空間的スケールが大きい（周波数が低い）成分については、ガウス近似を用いたPSFと直接実空間畳み込みを適用することで、高周波アリヤシングを回避する。
• フーリエ空間と実空間の両方の成分の結果を統合し、混合近似内での正確でアリヤシングのない最終的な畳み込み結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フーリエ変換と実空間畳み込みをハイブリッド的に組み合わせることで、銀河–PSF畳み込みにおいて速度と正確性の両立が可能になるか。
• RQ2 標準的な銀河プロファイルが、計算上の目的でガウス関数の混合としてどれほど正確に近似可能か。
• RQ3 スーパーレゾリューションレンダリングに頼らずに、アンダーサンプリングされた銀河プロファイルに起因するアリヤシングをどのように回避できるか。
• RQ4 本手法は、多様なPSFモデルを有する大規模な調査データに効率的に適用可能か。
• RQ5 本手法により、フーリエ空間畳み込みにおけるSérsicプロファイルの事前計算されたルックアップテーブルの必要性が排除されるか。

主な発見

• 本手法は、混合ガウス近似内での正確な畳み込みを実現し、PSFグリッドのナイキスト周波数で完全なローパスフィルタを適用することでアリヤシングを回避する。
• 本手法により、スーパーレゾリューションレンダリングの必要性が排除され、従来手法と比較して計算コストが顕著に削減される。
• 本手法により、一般化されたSérsicプロファイルのスケールでの効率的フォワードモデリングが可能となり、Sérsic指数の補間によって個々の指数ごとのルックアップテーブルの必要性が回避される。
• 本手法はDESIレガシーイメージング調査に実際に導入され、20,000平方度にわたる画像データで20億以上の源を処理した。
• 指数関数的およびSérsicプロファイルのフーリエ空間での評価が、解析的表現を用いて高速化され、高速なexp近似により性能が向上している。
• Tractorコードにおける実装は、本ハイブリッド手法が大規模な光度測定調査において高い正確性を維持しながら、計算オーバーヘッドを削減できることを示している。