[論文レビュー] A Hybrid High-Order method for nonlinear elasticity

Michele Botti, Daniele A. Di Pietro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、小変形領域における非線形弾性に向けた、非一致ポリヘドラルメッシュと静的縮約を可能にする、不連続な多項式次数自由度をメッシュ要素および面に用いた、新規なハイブリッド高次（HHO）法を提案する。この手法は、局所的な仮想仕事の原理と作用・反作用の整合性を満たし、一般の非線形応力-ひずみ法に対して最適収束率が保証される。

ABSTRACT

In this work we propose and analyze a novel Hybrid High-Order discretization of a class of (linear and) nonlinear elasticity models in the small deformation regime which are of common use in solid mechanics. The proposed method is valid in two and three space dimensions, it supports general meshes including polyhedral elements and nonmatching interfaces, enables arbitrary approximation order, and the resolution cost can be reduced by statically condensing a large subset of the unknowns for linearized versions of the problem. Additionally, the method satisfies a local principle of virtual work inside each mesh element, with interface tractions that obey the law of action and reaction. A complete analysis covering very general stress-strain laws is carried out, and optimal error estimates are proved. Extensive numerical validation on model test problems is also provided on two types of nonlinear models.

研究の動機と目的

• 小変形領域における非線形弾性問題の、堅牢で高次の離散化手法を開発すること。
• 一般のポリヘドラルメッシュと非一致界面をサポートすることで、複雑な幾何形状および適応的グリッド refinement における柔軟性を高めること。
• 任意の多項式次数に対して最適収束率を達成するとともに、静的縮約を可能にし、計算コストを低減すること。
• 局所的保存性の性質、特に各要素内での仮想仕事の局所的原理と界面における作用・反作用の整合性を保証すること。
• 一般の非線形応力-ひずみ法、特に工学的実務で一般的に用いられるものに対しても、完全な収束解析を提供すること。

提案手法

• メッシュ要素および面に $k \geq 1$ 次の不連続な多項式自由度を用いることで、高次精度と局所的再構成を実現する。
• 局所的再構成作用素は、自由度に基づく要素単位の鞍点問題を解くことで、離散的対称勾配と変位を計算する。
• 弱形式は、一貫性項（対称勾配をその離散的対応に置き換える）と、面ベースの残差をペナルティ化する安定化項から構成される。
• 安定化項により、離散ひずみおよび応力場のジャンプを制御することで、安定性と最適収束性が保証される。
• 線形化問題に対して静的縮約をサポートし、グローバルに結合する自由度の数を削減し、計算効率を向上させる。
• 離散的定式化は、各要素内で局所的な仮想仕事の原理を満たし、界面をはさんで数値的応力が作用・反作用の法則に従う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッド高次法は、最小限の正則性仮定のもとで、一般の非線形弾性モデルに対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 HHO法はポリヘドラルメッシュおよび非一致界面においても、高次精度を維持しながら性能を発揮するか？
• RQ3 非線形領域において、仮想仕事や作用・反作用といった局所的保存性の性質が、どの程度保持されるか？
• RQ4 非線形弾性のHHO離散化に静的縮約を効果的に適用できるか？計算コストの低減が可能か？
• RQ5 強非線形性を示す応力-ひずみ法（例えば、軟材や金属合金に見られるもの）に対して、HHO法の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 一般の非線形応力-ひずみ法のもとで、変位および応力場のエネルギーノルムにおける最適収束率 $h^{k+1}$ が理論的に証明された。
• 変位に関しては $H^1$-ノルム、応力に関しては $L^2$-ノルムにおいて、収束率 $\mathcal{O}(h^{k+1})$ が達成され、最適性が保証された。
• 標準的なメッシュ仮定のもとで、離散的コルンの不等式が成り立つため、離散問題の安定性と適切に定義された性質が保証された。
• 数値実験により、強い非線形性下でも安定した性能が確認され、理論的予測と一致する収束率が得られた。
• 任意の多項式次数 $k \geq 1$ と一般のポリヘドラルメッシュ（ヘンジングノードや非一致界面を含む）をサポートした。
• 静的縮約により、グローバルに結合する自由度の数が削減され、非線形方程式のニュートン反復における計算効率が顕著に向上した。