[論文レビュー] A Hybrid Observer for a Distributed Linear System with a Changing Neighbor Graph

L. Wang, A. Stephen Morse+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時変な隣接グラフを伴う線形システムにおける分散状態推定のためのハイブリッドオブザーバを提案する。連続時間の局所オブザーバと離散イベント型パラメータ推定を組み合わせたもので、合同観測可能性および強い連結性のもとで、エージェントがネットワークに参加・離脱しても真の状態への指数的収束を達成する。

ABSTRACT

A hybrid observer is described for estimating the state of an $m>0$ channel, $n$-dimensional, continuous-time, distributed linear system of the form $\dot{x} = Ax,\;y_i = C_ix,\;i\in\{1,2,\ldots, m\}$. The system's state $x$ is simultaneously estimated by $m$ agents assuming each agent $i$ senses $y_i$ and receives appropriately defined data from each of its current neighbors. Neighbor relations are characterized by a time-varying directed graph $\mathbb{N}(t)$ whose vertices correspond to agents and whose arcs depict neighbor relations. Agent $i$ updates its estimate $x_i$ of $x$ at "event times" $t_1,t_2,\ldots $ using a local observer and a local parameter estimator. The local observer is a continuous time linear system whose input is $y_i$ and whose output $w_i$ is an asymptotically correct estimate of $L_ix$ where $L_i$ a matrix with kernel equaling the unobservable space of $(C_i,A)$. The local parameter estimator is a recursive algorithm designed to estimate, prior to each event time $t_j$, a constant parameter $p_j$ which satisfies the linear equations $w_k(t_j-τ) = L_kp_j+μ_k(t_j-τ),\;k\in\{1,2,\ldots,m\}$, where $τ$ is a small positive constant and $μ_k$ is the state estimation error of local observer $k$. Agent $i$ accomplishes this by iterating its parameter estimator state $z_i$, $q$ times within the interval $[t_j-τ, t_j)$, and by making use of the state of each of its neighbors' parameter estimators at each iteration. The updated value of $x_i$ at event time $t_j$ is then $x_i(t_j) = e^{Aτ}z_i(q)$. Subject to the assumptions that (i) the neighbor graph $\mathbb{N}(t)$ is strongly connected for all time, (ii) the system whose state is to be estimated is jointly observable, (iii) $q$ is sufficiently large, it is shown that each estimate $x_i$ converges to $x$ exponentially fast as $t ightarrow \infty$ at a rate which can be controlled.

研究の動機と目的

• 時変または不安定な隣接関係下で失敗する既存の分散オブザーバの限界を解消すること。
• エージェントの脱落によって不安定化する既存のオブザーバの脆さを克服すること。
• 動的エージェント接続性に対しても指数的収束を維持できる耐性を持つ分散オブザーバを設計すること。
• 変化するネットワークトポロジーのもとでも、各エージェントが局所的測定値と隣接エージェントのデータのみを用いてグローバルシステム状態を推定できること。
• エージェントの故障や切断があっても、残りのネットワークが依然として強く連結されており、合同観測可能性が保たれる限り、オブザーバが機能的かつ安定に保たれること。

提案手法

• 各エージェントは、状態の線形変換 $ L_i x $ を推定する連続時間の局所オブザーバを用いる。ここで $ L_i $ はエージェント $ i $ の視点から観測可能な状態部分を捉える。
• 離散イベント時刻 $ t_j $ において、エージェントは区間 $ [t_j - \tau, t_j) $ の間に $ q $ 回の反復を経て、隣接エージェントの推定値を用いて $ x $ を $ t_j - \tau $ で凍結した状態を再構成する再帰的パラメータ推定器を実行する。
• パラメータ推定器は、隣接エージェントのデータを用いて状態 $ z_i $ を再帰的に更新し、$ w_k(t_j - \tau) = L_k p_j + \mu_k(t_j - \tau) $ を解く。ここで $ p_j $ は $ t_j - \tau $ 時の推定状態である。
• 各エージェントは、$ q $ 回の反復後に得られるパラメータ推定器の最終値を用いて、状態推定値を $ x_i(t_j) = e^{A\tau} z_i(q) $ として更新する。
• オブザーバはハイブリッド的である：イベント間では連続時間のダイナミクスを示し、イベント時刻では隣接エージェントのデータに基づいて離散的更新を行う。
• 収束は、利得行列の積 $ \Omega_j $ の行列ノルムおよび固有値半径の境界を用いた収縮解析により保証され、推定誤差の指数的減衰を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時変な隣接グラフ下でも、分散オブザーバが指数的収束を維持できるか？
• RQ2 エージェントがネットワークから脱落しても、そのオブザーバが安定かつ正確に保たれるか？
• RQ3 固定されたネットワークトポロジーやグローバルな同期に依存しない耐性を持つ分散オブザーバを設計可能か？
• RQ4 局所的測定値と間欠的な隣接エージェントデータのみを用いて、エージェントがグローバル状態を推定できるか？
• RQ5 時変な通信やトポロジーに対しても、推定誤差が指数的に減少するための条件は何か？

主な発見

• 時変な隣接グラフが合同観測可能性および強い連結性を満たす限り、ハイブリッドオブザーバは各エージェントの状態推定値が真の状態へ指数的に収束することを保証する。
• 収束レートは $ \lambda = -\frac{1}{T} \ln \beta $ で上限が与えられ、ここで $ \beta < 1 $ であり、オブザーバ利得行列の固有値半径に依存する。
• 推定誤差は、すべての $ t \geq 0 $ に対して $ \|x_i(t) - x(t)\|_2 \leq e^{-\lambda t}(\sigma_x + \sigma_\mu) $ を満たす。ここで $ \sigma_x $ と $ \sigma_\mu $ は初期状態および誤差状態の偏差を表す。
• オブザーバは耐性を持つ：1つのエージェントがネットワークから離脱しても、残りのグラフが依然として強く連結されており、システムが合同観測可能であれば、残りのエージェントは正しく状態を推定し続ける。
• パラメータ推定器における反復回数 $ q $ を増加させることで収束速度が向上し、$ \beta $ が $ q $ が大きくなるにつれて減少するためであるが、伝送遅延の制限により実用的な $ q $ 値は制限される。
• 測定ノイズに対してもロバストである。ノイズ下でも性能が滑らかに低下するため、最適フィルタリングを用いたノイズあり設定への拡張が有望である。