[論文レビュー] A Hybrid Quantum-Classical CFD Methodology with Benchmark HHL Solutions

Leigh Lapworth|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元のドア駆動キャビティ流れを対象として、HHL量子線形ソルバを用いて行列の解法を高速化する、ハイブリッド量子古典的CFDソルバを提示する。SIMPLEアルゴリズムに基づくものであり、動的CFD行列のためのLCU係数を再計算する効率的な手法を導入し、ベンチマークHHL解法を示し、量子優位性を達成する上で古典的前処理時間と量子実行時間の両方が同程度に重要であることを明らかにした。

ABSTRACT

There has been significant progress in the development of quantum algorithms for solving linear systems of equations with a growing body of applications to Computational Fluid Dynamics (CFD) and CFD-like problems. This work extends previous work by developing a non-linear hybrid quantum-classical CFD solver and using it to generate fully converged solutions. The hybrid solver uses the SIMPLE CFD algorithm, which is common in many industrial CFD codes, and applies it to the 2-dimensional lid driven cavity test case. A theme of this work is the classical processing time needed to prepare the quantum circuit with a focus on the decomposition of the CFD matrix into a linear combination of unitaries (LCU). CFD meshes with up to 65x65 nodes are considered with the largest producing a LCU containing 32,767 Pauli strings. A new method for rapidly re-computing the coefficients in a LCU is proposed, although this reduces, rather than eliminates, the classical scaling issues. The quantum linear equation solver uses the Harrow, Hassidim, Lloyd (HHL) algorithm via a state-vector emulator. Test matrices are sampled from the classical CFD solver to investigate the solution accuracy that can be achieved with HHL. For the smallest 5x5 and 9x9 CFD meshes, full non-linear hybrid CFD calculations are performed. The impacts of approximating the LCU and the varying the number of ancilla rotations in the eigenvalue inversion circuit are studied. Preliminary timing results indicate that the classical computer preparation time needed for a hybrid solver is just as important to the achievement of quantum advantage in CFD as the time on the quantum computer. The reported HHL solutions and LCU decompositions provide a benchmark for future research. The CFD test matrices used in this study are available upon request.

研究の動機と目的

• 2次元流れ問題における産業標準のSIMPLEアルゴリズムを用いた非線形ハイブリッド量子古典的CFDソルバの開発。
• 特にスパースCFD行列のLCU分解に起因する、量子CFDにおける古典的前処理の計算ボトルネックの解決。
• 将来の量子CFD研究のための再現可能なHHL解法およびLCU分解のベンチマーク提供。
• LCU近似とアタシリアクビット数の影響が、CFD文脈におけるHHL解法の正確性に与える影響の評価。
• 古典的実行時間と量子実行時間の相対的寄与度を、CFDアプリケーションにおける量子優位性の達成に向け、定量的に評価。

提案手法

• 2次元ドア駆動キャビティテストケースにおいて、ナビエ＝ストークス方程式を線形化するためのSIMPLEアルゴリズムを採用し、量子線形解法を組み込んだ反復的非線形CFD解法を可能にする。
• 各SIMPLE反復において、HHLアルゴリズムをシミュレートするための状態ベクトルエミュレータを用いる。
• スパarsityパターンとパウリ行列の直交性を活用することで、迅速にLCU係数を再計算する新規手法を適用し、古典的前処理のオーバーヘッドを低減。
• 各クラスタが共通のスパarsityパターンを持つようにし、ユニタリ係数を行列逆行列により解くことで、CFD行列をユニタリの線形結合（LCU）に分解。$ U^T U = 2^n I $ を用いる。
• 恒等式 $ (U^T U)_{ij} = \text{prod}_k G_H(P_{i,k}, P_{j,k}) $ を用いて、$ U^T U = 2^n I $ を示し、$ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ を介して直接係数計算を可能にする。
• 各クラスタごとにスパースインデックスを用い、LCUエントリを1バイト整数（$ \text{int8}_t $）で格納することで、トレース直交性手法と比較してストレージを削減。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HHL解法の正確性は、LCU近似と固有値反転に使用されるアタシリアクビット数にどのように依存するか？
• RQ2 進化するCFD行列のLCU分解を生成するための古典的前処理コストは何か？また、メッシュサイズに伴いどのようにスケーリングするか？
• RQ3 ハイブリッド量子古典的CFDソルバは、非線形反復フレームワーク内でのHHLを線形解法に用いて、完全に収束した解を得られるか？
• RQ4 提案されたLCU係数再計算手法は、完全な再計算と比較して、古典的オーバーヘッドをどの程度低減するか？
• RQ5 量子優位性を達成するためのCFD応用において、古典的前処理時間と量子実行時間の相対的寄与度は何か？

主な発見

• 本手法は、HHLを線形ソルバとして用いて、$ 5\times5 $ および $ 9\times9 $ メッシュにおける完全な非線形ハイブリッドCFDシミュレーションを成功裏に実行した。
• $ 65\times65 $ メッシュでは、LCU分解に最大32,767個のパウリストリングを含むことが示され、大規模CFDシステムへのスケーラビリティを実証した。
• 提案されたLCU係数再計算手法は、古典的スケーリングオーバーヘッドを低減したが、完全に排除することはできず、前処理段階が重要なボトルネックであることを浮き彫りにした。
• 量子回路セットアップのための古典的準備時間は、CFDにおける量子優位性を達成する上で、量子実行時間と同等に重要であることが示された。
• $ U^T U = 2^n I $ の利用により、$ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ を介した正確かつ効率的な係数計算が可能となり、$ \pm1 $ のエントリは1バイト整数に格納された。
• 本研究では、将来の量子CFD研究における検証と比較のための、HHL解法およびLCU分解の公開ベンチマークを提供した。