[論文レビュー] A hybridizable discontinuous Galerkin method for the Ostrovsky equation

Mukul Dwivedi, Andreas Rupp|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2026

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 0

ひとこと要約

この論文は bounded interval 上の全 Ostrovsky 方程式の初めての高次HDG法を開発し、非局所項を局所化する混合一階形式を共有し、滑らかな解に対して L2 での収束が h^{k+1/2} になる安定性と誤差解析を提供する。

ABSTRACT

This paper develops the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the Ostrovsky equation, a nonlinear dispersive wave equation featuring both third-order dispersion and a nonlocal antiderivative term with Coriolis effect. On a bounded interval, the nonlocal operator $\partial_x^{-1}$ is localized through an auxiliary variable $v$ satisfying $v_x=u$ together with an additional boundary constraint that ensures uniqueness. We employ a mixed first-order formulation to decompose the dispersive operator and to localize the nonlocal term, and we couple the resulting semi-discrete HDG scheme with a $θ$-time stepping method for $θ\in [1/2,1]$. We prove $L^2$-stability for suitable stabilization parameters and derive an {\it a priori} $L^2(Ω)$ error estimate for smooth solutions that explicitly accounts for the nonlinear convective flux. Numerical examples illustrate the convergence properties and demonstrate the scheme's capability to handle smooth and non-smooth solutions, including solitary wave propagation and peaked solitary wave (peakon) propagation in the zero dispersive limit regime.

研究の動機と目的

• 三次分散と非局所コリオリ項を含む Ostrovsky 方程式の数値近似を動機づける。
• 補助変数と境界制約によって非局所作用素を局所化する混合一階HDG形式を開発する。
• 安定性を保ちながらグローバル未知数を減らす静的凝縮を用いたHDGスキームを定式化する。
• 安定化仮定のもとで半離散および完全離散スキームのエネルギー安定性を証明する。
• 滑らかな解に対して O(h^{k+1/2}) の収束を示す L2誤差推定を導出し、数値実験で検証する。

提案手法

• 非局所演算子を局所化する混合一階系を得るための補助変数を導入し、v_x = u および境界制約 v(x_R,t)=0 によって局所化する。
• 各メッシュ区間で多項式次数 k のHDG離散化を適用し、安定化パラメータを用いた数値トレースを設計する。
• 伝達条件を弱形式で課して、メッシュスケルトン上のトレース未知数を含む正方形のグローバル系を得る。
• 安定化パラメータに関する仮定3.1の下で半離散スキームのL2安定性を証明し、エネルギー減衰を示す。
• 非線形フラックスを考慮した事前のL2誤差推定を導出し、k≥1 に対して ||u-u_h||_{L2(Ω)} = O(h^{k+1/2}) を得る。

Figure 1. Solitary-wave propagation with $N_{e}=256$ , $k=2$ , $\Delta t=0.05$ , $T=20$ . Shown are $u_{h}(\cdot,t)$ at $t=0,5,10,15,20$ and the translated reference $u_{\rm ref}(\cdot,T)=U(\cdot-c_{w}T)$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次分散と非局所の反導関数項を扱いながら Ostrovsky 方程式を効率的に離散化するにはどうすればよいか？
• RQ2 HDG 形式は bounded domains 上の全 Ostrovsky 方程式に対して安定性を保ち、証明可能な誤差推定を提供できるか？
• RQ3 滑らかな解に対するHDG法の収束率と、非平滑または特異な極限における挙動はどうなるか？
• RQ4 非局所項の数値扱いが安定性と誤差解析の非線形フラックスとどのように相互作用するか？

主な発見

• HDG法は bounded interval 上の全 Ostrovsky 方程式に対する最初の高次離散化である。
• 適切な安定化パラメータの下で半離散および完全離散スキームのエネルギー安定性を確立した。
• 非線形フラックスを明示的に考慮した滑らかな解に対して O(h^{k+1/2}) のL2誤差境界を導出した。
• 数値実験は滑らかな解の最適精度と孤立波・ピーコン様の解に対する頑健性を確認し、β→0 の特異極限も含む。
• 本手法は静的凝縮を可能とし、構造を保ちながらグローバルに結合された自由度を減らす。

Figure 2. Peakon solution and the limit $\beta\to 0$ . Shown are the initial condition $u_{0}$ from ( 6.9 ), the OH reference profile $u_{\mathrm{OH}}(\cdot,T)$ given by ( 6.10 ), and periodic HDG solutions $u_{h}(\cdot,T)$ for several values of $\beta$ .