[論文レビュー] A hyperbolic diffeomorphism with countably many ergodic components near identity

Huyi Hu, Anna Talitskaya|ArXiv.org|Oct 19, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、4次元のコンpakトなリーマン多様体上に、恒等写像に限りなく近いが、滑らかで体積を保存し、双曲的であるような微分同相写像を構成する。この写像は可算無限個のエルゴード成分を持つ。定曲率の負の曲率を持つ曲面上の測地線流の摂動を用いて、2つのゼロのリャプノフ指数を除去しながらエルゴード性と双曲性を維持する。これにより、恒等写像の任意に小さい近傍内にこのような系が存在することを示した。

ABSTRACT

We construct a smooth hyperbolic volume preserving diffeomorphism on a four dimensional compact Riemannian manifold which has countably many ergodic components and is arbitrarily close to the identity map.

研究の動機と目的

• 4次元多様体上に、恒等写像に限りなく近い滑らかで体積を保存し、双曲的な微分同相写像を構成すること。
• このような系が可算無限個のエルゴード成分を持つことの存在を示し、恒等写像近傍における力学系の理解の空白を埋めること。
• 4次元の設定において、2つのゼロのリャプノフ指数を除去しながら双曲性とエルゴード性を維持する課題を克服すること。
• 無限個のエルゴード成分を持つ非一様双曲的系に関する先行研究を、恒等写像に限りなく近い系へと拡張すること。

提案手法

• 定曲率の負の曲率を持つ曲面上の測地線流と円周上の恒等写像の積から出発し、F = G × id として基本写像を構成する。
• 円周 S¹ を可算無限個の互いに素な区間 In に分割し、各 M₀ × In 上でアフィン共役 πn を用いて局所的摂動 fn を定義する。
• 基本写像 S = G × id に対して3つの小さな C∞ 体積保存摂動を施し、エルゴード性を達成し、ゼロのリャプノフ指数を除去する。
• 局所座標上での回転に類似した写像 Tθ を用いて摂動を構成し、体積を保存するとともに C¹ 範囲を小さくし、恒等写像に近い性質を保証する。
• 各区間 In の端点における微分構造が保存されるように摂動を設計し、滑らかさと恒等写像への C¹ 近接性を維持する。
• 記号的力学と周期軌道の稠密性を用いて、可到達性がほとんど everywhere で成立する集合を構成し、エルゴード性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C∞ で双曲的かつ体積を保存する微分同相写像で、可算無限個のエルゴード成分を持つものが、恒等写像に限りなく近い位置に構成可能だろうか？
• RQ2 4次元系において、2つのゼロのリャプノフ指数を除去するには、既存の摂動による非ゼロの指数が不安定化しないようにどのようにすればよいか？
• RQ3 体積を保存し、C¹ で恒等写像に近い摂動を用いて、2つのゼロのリャプノフ指数を持つ4次元系でエルゴード性を達成することは可能だろうか？
• RQ4 このような系が恒等写像の近傍に存在することは、恒等写像の近傍にアノソフ系が存在しないという事実と矛盾するだろうか？

主な発見

• 任意の δ₀ > 0 に対して、4次元コンパクトなリーマン多様体上に C∞ の微分同相写像 f が存在し、||f − id||C₁ ≤ δ₀ を満たす。
• 写像 f はリーマン体積 μ を保存し、双曲的であり、ほとんど everywhere ですべてのリャプノフ指数が非ゼロである。
• 系は可算無限個のエルゴード成分を持ち、それぞれがゼロ modulo として開集合であることを確認した。これにより、恒等写像近傍にこのような系が存在することを裏付けた。
• 構成には3つの摂動を用いた：可到達性を達成するための1つ、最初のゼロのリャプノフ指数を除去するための1つ、2番目のゼロのリャプノフ指数を除去しながら双曲性を維持するための1つ。
• 摂動技法により、各区間 In の境界における微分構造が保存され、恒等写像への C¹ 近接性が維持された。
• 結果として、非一様双曲的系が無限個のエルゴード成分を持つことは、恒等写像に限りなく近い位置でも成立し得ることを示した。これは、恒等写像近傍にアノソフ系が存在しないことと対照的である。