[論文レビュー] A hyperbolic Out(F_n)-complex

Mladen Bestvina, Mark Feighn|ArXiv.org|Aug 27, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意の有限個の完全に不可約な自己同型が正の移動長を持つように、$Σδ$-双曲的かつ連結なグラフ$ℓ{X}$を構成する。この構成は、バウディッチの方法を応用し、アンラス系と双曲的交比を用いる。$Στ(F_n)$の木とカレントの空間における力学的性質に依存し、曲線複体に類似した内在的記述を持たないが、双曲的複体を構成する。

ABSTRACT

For any finite collection $f_i$ of fully irreducible automorphisms of the free group $F_n$ we construct a connected $δ$-hyperbolic $Out(F_n)$-complex in which each $f_i$ has positive translation length.

研究の動機と目的

• 完全に不可約な自己同型が正の移動長を持つ$δ$-双曲的$Στ(F_n)$-複体を構成すること。
• バウディッチの双曲的性の構成法を収束群から$Στ(F_n)$の文脈へ拡張し、木とカレントの空間における力学的性質を用いること。
• アーメンシュタットが最近発表したように、$Στ(F_n)$への準ホモモーフィズムの構成のための幾何的枠組みを提供すること。
• 単体的木および真の自由因子の安定化部分群が、新しい複体において有界な軌道を持つことを確立すること。
• この複体が内在的ではないが、$Στ(F_n)$の幾何的性質を研究する上で依然として有用であることを示すこと。

提案手法

• 公理(A1)および(A2)を満たすアンラス系を備えた空間への群作用から双曲的空間を構成するバウディッチの構成を適応する。
• 入れ子になったアンラスの数え上げを用いて、木とカレントの空間に双曲的パス交比を定義する。
• $\overline{\mathcal{PT}}$のコンパクト化および$\mathcal{M}(F_n)$の射影化されたカレントの空間における$Στ(F_n)$の力学的性質を用いて、アンラス系を定義する。
• 空間$M$内の相異なる3点の順序付き組の集合上に、交比を用いて準距離$ρ$を構成し、これが双曲的パス準距離を定義することを証明する。
• $Στ(F_n)$の木とカレントの空間への作用にこの構成を適用し、交比の公理により双曲的性を保証する。
• 既知の完全に不可約な自己同型の力学的性質およびOuter空間の境界における南北力学的性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に不可約な自己同型が正の移動長を持つ$δ$-双曲的$Στ(F_n)$-複体を構成することは可能か？
• RQ2 バウディッチの群作用に基づくアンラス系を備えた空間からの双曲的空間の構成法は、$Στ(F_n)$の文脈へ拡張可能か？
• RQ3 $Στ(F_n)$の木とカレントの空間における力学的性質を用いて、双曲的交比を定義することは可能か？
• RQ4 このような複体の幾何的性質は、$Στ(F_n)$の研究、特に準ホモモーフィズムの構成においてどのような意味を持つのか？
• RQ5 構成された複体において、単体的木および真の自由因子の安定化部分群が有界な軌道を持つようにすることは可能か？

主な発見

• 任意の有限個の完全に不可約な自己同型$f_1, \dots, f_k$が$Στ(F_n)$に属するとき、各$f_i$が正の移動長を持つ、連結な$δ$-双曲的グラフ$ℓ{X}$が存在し、$Στ(F_n)$が等長的に作用する。
• $\overline{\mathcal{PT}}$内の任意の単体的木の安定化部分群は$ℓ{X}$において有界な軌道を持ち、真の自由因子の安定化部分群に対しても同様の性質が成り立つ。
• 構成は、公理(A1)および(A2)を満たすアンラス系に基づく双曲的パス交比に依存しており、これにより得られる空間は双曲的であることが保証される。
• 複体$ℓ{X}$は曲線複体のように内在的ではないが、アーメンシュタットの結果により、$Στ(F_n)$への準ホモモーフィズムの構成に依然として有用である。
• $Στ(F_n)$の有限生成集合に関するケイリー・グラフには、完全に不可約な自己同型のみからなる任意に大きな球が存在する。
• $\Gamma$がランク$\geq 2$の単純なリー群の不連続格子であるとき、任意の埋め込み$\Gamma \to \mathrm{Out}(F_n)$は、完全に不可約な自己同型を含んではならない。