[論文レビュー] A Hyperelliptic View on Teichmuller Space. I

Sasha Anan’in, Eduardo C. Bento Gonçalves|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的リーマン面と単純な地震（geodesics 沿いの連続的変形）を用いた、テイヒミュラー空間の初等的で幾何的なアプローチを提示する。この手法により、ハイパーエリプティックな表面のテイヒミュラー空間上で地震群が推移的に作用することを証明する。自然な境界座標を用いて、表現の忠実性と離散性を単純かつ効果的に判定する基準を確立し、一般のリーマン面へと枠組みを拡張。また、テイヒミュラー空間がハイパーエリプティック部分に沿ってファイバー構造を持ち、射影が一意的であることを示す。

ABSTRACT

We explicitly describe the Teichmuller space TH_n of hyperelliptic surfaces in terms of natural and effective coordinates as the space of certain (2n-6)-tuples of distinct points on the ideal boundary of the Poincare disc. We essentially use the concept of a simple earthquake which is a particular case of a Fenchel-Nielsen twist deformation. Such earthquakes generate a group that acts transitively on TH_n. This fact can be interpreted as a continuous analog of the well-known Dehn theorem saying that the mapping class group is generated by Dehn twists. We find a simple and effective criterion that verifies if a given representation of the surface group π_1Σin the group of isometries of the hyperbolic plane is faithful and discrete. The article also contains simple and elementary proofs of several known results, for instance, of W. M. Goldman's theorem [Gol1] characterizing the faithful discrete representations as having maximal Toledo invariant (which is essentially the area of the representation in the two-dimensional case).

研究の動機と目的

• 解析的手法に依存せずに、テイヒミュラー空間を研究する初等的で幾何的な枠組みを構築すること。
• ポincareの円板の理想境界における自然な境界座標を用いて、ハイパーエリプティックなリーマン面のテイヒミュラー空間を特徴づけること。
• 地震群 $ \tilde{\rm E}_n $ がハイパーエリプティックな表面のテイヒミュラー空間 $ \tilde{\rm T}H_n $ 上で推移的に作用することを証明し、デーンの定理の連続的アナロジーを提供すること。
• ハイパーエリプティックな表面に用いた手法を一般のリーマン面へと拡張し、自然な基本領域を用いて表現の離散性に関する基準を確立すること。
• 特にトーロの定理や離散群表現に関連する、理論の複素双曲的アナロジーの土台を築くこと。

提案手法

• ハイパーエリプティックな表面を、Poincaréの円板内に $ n = 2g+2 $ 個の点の配置として表現し、その反射が基本群 $ H_n $ を生成することを示す。
• 単純な地震（SE）を、geodesic 沿いに隣接する点間の距離を保存する連続的変形として定義し、地震群 $ \tilde{\rm E}_n $ を生成することを示す。
• $ 2n-6 $ 個の異なる境界点の巡回的順序を用いて、テイヒミュラー空間 $ \tilde{\rm T}H_n $ をパラメトライズし、自然で幾何的な座標を与える。
• Poincaréの多面体定理を適用し、 $ 2(n-2) $ 個の頂点と面積 $ 2(n-4)\pi $ を持つ多角形 $ Q $ が、群作用の基本領域であることを示す。
• 一般の $ G_n = \pi_1(\Sigma) $ に対して基本領域を構成し、 $ \tilde{\rm T}_n $ 上のリーマン面の普遍族の可視化を可能にする。
• 表現における双曲的要素に沿った共役ねじれ $ \rho E_i(t) $ を定義することで、 $ \tilde{\rm T}H_n $ 上の地震作用を $ \tilde{\rm T}_n $ へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーエリプティックな表面のテイヒミュラー空間は、Poincaréの円板の境界上に自然な幾何的座標を用いてパラメトライズ可能か？
• RQ2 地震群 $ \tilde{\rm E}_n $ はテイヒミュラー空間 $ \tilde{\rm T}H_n $ 上で推移的に作用するか？ これはデーンの定理の連続的アナロジーと見なせるか？
• RQ3 表現 $ \varrho: H_n \to \mathrm{PU}(1,1) $ が忠実かつ離散的であるかどうかを判定する、単純で効果的な基準は存在するか？
• RQ4 ハイパーエリプティックな表面に用いた手法を一般のリーマン面へと拡張し、表現の離散性に関する基準を得られるか？
• RQ5 $ \tilde{\rm T}_n $ の構造は $ \tilde{\rm T}H_n $ とどのように関係するか？ $ \tilde{\rm T}_n $ は $ \tilde{\rm T}H_n $ に沿ってファイバー構造を持つか？

主な発見

• genus $ g \geq 2 $ のハイパーエリプティックな表面のテイヒミュラー空間 $ \tilde{\rm T}H_n $ は、理想境界 $ \partial\mathbb{D} $ 上の $ 2n-6 $ 個の異なる点の巡回的順序によってパラメトライズされる。
• 地震群 $ \tilde{\rm E}_n $ は $ \tilde{\rm T}H_n $ 上で推移的に作用し、マッピングクラス群のデーンねじれによる生成の連続的アナロジーを提供する。
• $ n=5 $ の場合、任意の非自明な表現 $ \varrho: H_5 \to \mathrm{PU}(1,1) $ は自動的に忠実かつ離散的である。これは文献において以前に指摘されていなかった結果である。
• 表現 $ \varrho: G_n \to \mathrm{PU}(1,1) $ が離散的かつ忠実であるための必要十分条件は、関連する基本多角形 $ Q $ の面積が $ 2(n-4)\pi $ であり、内角の和が $ 2\pi $ であることである。
• リーマン面の普遍族 $ \mathcal{F} \to \tilde{\rm T}_n $ は、 $ \mathbb{D} \times \tilde{\rm T}_n $ 内の基本領域を用いて可視化され、ファイバーは $ \mathbb{D}/G_n $ に同型である。
• テイヒミュラー空間 $ \tilde{\rm T}_n $ は $ \tilde{\rm T}H_n $ に沿って二重にファイバー構造を持ち、 $ \tilde{\rm T}_n $ の任意の点は、 $ \tilde{\rm T}H_n $ への射影によって一意に特定される。