[論文レビュー] A hyperkahler structure on the cotangent bundle of a complex Lie group

P. B. Kronheimer|ArXiv.org|Sep 15, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、ナーム方程式の解の空間のハイパーケーラー商として得られる、複素リー群 $G^c$ の余接 bundle $T^*G^c$ 上にハイパーケーラー構造を構成する。主な結果は、$T^*G^c$ が $G$-不変なハイパーケーラー計量を備え、twistor 空間が複素シンプレクティックな自明化を提供し、その結果として、モーメント写像の構成により、基になる複素多様体が $T^*G^c$ に自然に同一視されることである。

ABSTRACT

Let G be compact Lie group. It is shown that the cotangent bundle of the complexification of G admits a hyperkahler structure which is invariant under left and right translations by elements of G. The proof is to realize the cotangent bundle of the complex group as a moduli space of solutions to Nahm's equations on the closed interval.

研究の動機と目的

• 複素リー群 $G^c$ の余接 bundle $T^*G^c$ 上にハイパーケーラー構造が存在することを確立すること。これは、コンpact 実リー群 $G$ に対して既知の $T^*G$ 上の複素構造を拡張するものである。
• ハイパーケーラー構造が $G$ の左および右平行移動に関して不変であることを示すことにより、幾何的対称性を保証すること。
• ハイパーケーラー多様体の twistor 空間のグローバルな記述を提供し、それが複素シンプレクティック構造を示し、$T^*G^c$ の複素幾何と関連することを明らかにすること。
• ハイパーケーラー構造の基になる複素シンプレクティック多様体が、twistor 空間上のモーメント写像の構成により自然に $T^*G^c$ に同一視されることを示すこと。

提案手法

• 構成は、$[0,1]$ から $\mathfrak{g}$ への $C^1$ 写像の空間 $\Omega^4$ を出発点とし、クaternion を用いた平坦なハイパーケーラー構造を備えたバナッハ空間を用いるハイパーケーラー商の方法を用いる。
• ナーム方程式の解はモーメント写像 $\mu: \Omega^4 \to \Gamma^3$ を定義し、商 $M = N / \mathcal{G}_0$ は周囲空間からのハイパーケーラー構造を引き継ぐ。
• ハイパーケーラー多様体 $M$ の twistor 空間 $\mathcal{Z}$ は、$\mathcal{Z} \cong \Omega^c \times \Omega^c \times \mathbb{CP}^1$ 上のモーメント写像 $\hat{\mu}$ の零点として構成され、$\mathcal{G}^c_0$-作用がファイブレーションを保存する。
• twistor 空間の局所自明化 $U$ および $V$ を用いて移行関数を定義し、$g(1) \in G^c$ および $\eta \in \mathfrak{g}^c$ をパrameter として解 $\hat{\mu} = 0$ がパラメトライズされ、twistor 空間のグローバル自明化が得られる。
• 移行関数が明示的に導出され、$\phi_V \circ \phi_U^{-1}$ が $(g(1), \eta)$ を $\big(g(1) \cdot \exp(2\eta / \zeta), \eta \zeta^{-2}\big)$ に写すことにより、複素構造が確認される。
• 結果として得られる twistor 空間 $\mathcal{Z}$ は $G^c \times \mathfrak{g}^c \times \mathbb{CP}^1$ に同型であることが示され、基になる複素シンプレクティック多様体が $T^*G^c$ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素リー群 $G^c$ の余接 bundle $T^*G^c$ は、$G$ の左および右平行移動に関して不変なハイパーケーラー構造を備えているか？
• RQ2 ハイパーケーラー構造は、ナーム方程式の解に基づくハイパーケーラー商の構成によって記述可能か？
• RQ3 ハイパーケーラー多様体 $T^*G^c$ の twistor 空間のグローバル構造は何か？ また、それは $T^*G^c$ の複素シンプレクティック幾何とどのように関係しているか？
• RQ4 ハイパーケーラー構造の基になる複素シンプレクティック多様体は、自然に $T^*G^c$ そのものに同一視可能か？
• RQ5 twistor 空間の構成はハイパーケーラー多様体のグローバル自明化をもたらすか？ もしそうなら、局所自明化間の移行関数は何か？

主な発見

• 余接 bundle $T^*G^c$ は、$G$-不変なハイパーケーラー構造を備え、コンpact 実リー群 $G$ に対して既知の $T^*G$ 上の複素構造を拡張する。
• ハイパーケーラー構造は、ナーム方程式の解の空間からのハイパーケーラー商として得られ、ゲージ群 $\mathcal{G}_0$ が解空間 $N$ に作用する。
• ハイパーケーラー多様体 $M = N / \mathcal{G}_0$ の twistor 空間 $\mathcal{Z}$ は、グローバルに $G^c \times \mathfrak{g}^c \times \mathbb{CP}^1$ に同型であり、自明化間の適切な移行関数が定義されている。
• twistor 空間上のモーメント写像 $\hat{\mu}$ は、$g(1) \in G^c$ および $\eta \in \mathfrak{g}^c$ をパラメータとする解においてちょうどゼロとなることが示され、グローバル自明化が確立される。
• twistor 空間の $U$ および $V$ 自明化間の移行関数は、明示的に計算され、$g^\prime(s) = g(s) \cdot \exp(2s\eta / \zeta)$ および $\eta^\prime = \eta \zeta^{-2}$ と表される。これにより、複素構造が確認される。
• ハイパーケーラー構造の基になる複素シンプレクティック多様体は、自然に $T^*G^c$ に同一視可能であり、$T^*G^c$ 上の複素構造がハイパーケーラー幾何から自然に生じることを確認する。