[論文レビュー] A-infinity Algebras Derived from Associative Algebras with a Non-Derivation Differential

Kaj Börjeson|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微分 $\Delta$ が一般に導分でない度数 $+1$ の微分を備えた次数付き結合的代数に $A_\infty$-構造を導入し、$\Delta$ が積と可換でない度合いを測る。主な貢献は、$\Delta$ が結合的順序 2 を持つ場合に、元の積と整合する度数 $+1$ の厳密な結合的積をもたらす、非可換な BV-代数の類似構造の構築である。これは Hochschild コホモロジーとバー分解の構成を一般化する。

ABSTRACT

Given an associative graded algebra equipped with a degree +1 differential we define an A-infinity structure that measures the failure of the differential to be a derivation. This can be seen as a non-commutative analog of generalized BV-algebras. In that spirit we introduce a notion of associative order for the differential and prove that it satisfies properties similar to the commutative case. In particular when it has associative order 2 the new product is a strictly associative product of degree +1 and there is a compatibility between the products, similar to ordinary BV-algebras. We consider several examples of structures obtained in this way. In particular we obtain an A-infinity structure on the bar complex of an A-infinity algebra that is strictly associative if the original algebra is strictly associative. We also introduce strictly associative degree +1 products for any degree +1 action on a graded algebra. Moreover, an A-infinity structure is constructed on the Hochschild cocomplex of an associative algebra with a non-degenerate inner product by using Connes' B-operator.

研究の動機と目的

• 度数 $+1$ の微分 $\Delta$ が導分でなくてもよい、次数付き結合的代数に $A_\infty$-構造を定義すること。
• 一般化された BV-代数における「順序」の概念を一般化し、$\Delta$ の「結合的順序」の概念を導入すること。
• 代数的積と新しい度数 $+1$ の積との整合性を、$\Delta$ が結合的順序 2 を持つ場合に確立すること。
• バー複体の $A_\infty$-代数と Hochschild コサイクル複体に、この構成を適用すること。
• Hochschild コホモロジーに誘導される $A_\infty$-構造が、符号を除いて $m_2$ として Gerstenhaber ブラケットを実現することを示すこと。

提案手法

• 微分 $\Delta$ と結合的積を用いて $A_\infty$-作用素 $m_n$ を定義し、$m_n$ は $\Delta$ が導分でない度合いを測る。
• 複体の対称モノイダル圏における Koszul の符号規則を用いて、作用素における次数付き符号を扱う。
• $A_\infty$-代数のバー複体に $A_\infty$-構造を構成し、元の代数が厳密に結合的であれば、それが厳密に結合的になることを示す。
• 非退化で不変な内積を持つ有限次元結合的代数の Hochschild コサイクル複体にこの構成を適用する。
• 内積を用いて Connes の $B$-作用素を双対化し、コサイクル複体上に度数 $+1$ の微分を得る。その後、一般論を適用する。
• 誘導されたコホモロジー上の $A_\infty$-構造が $m_1 = \Delta$ かつ $m_2$ が符号を除いて Gerstenhaber ブラケットに一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度数 $+1$ の微分 $\Delta$ が導分でない、次数付き結合的代数に $A_\infty$-構造をどのように定義できるか。
• RQ2 非可換な設定において $\Delta$ の「順序」の概念をどのように一般化できるか。また、それと高次 $A_\infty$-作用素の消滅との関係は何か。
• RQ3 $\Delta$ が結合的順序 2 を持つ場合に、元の結合的積と新しい度数 $+1$ の積との間に生じる整合性条件は何か。
• RQ4 この構成は $A_\infty$-代数のバー複体に適用可能か。もし可能であれば、どのような構造が誘導されるか。
• RQ5 Connes の $B$-作用素を備えたコサイクル複体にこの構成を適用した場合、Hochschild コホモロジーに Gerstenhaber ブラケットが得られるか。

主な発見

• 作用素 $m_n$ は、非可換代数への Koszul ハイアーチの一般化として定義され、$\Delta$ が導分でない度合いを測る。
• $\Delta$ が結合的順序 2 を持つ場合、$m_2$ は度数 $+1$ の厳密な結合的積となり、元の積と整合性を持つ。
• $A_\infty$-代数のバー複体には、度数 $+1$ の厳密な結合的積が誘導され、元の代数が厳密に結合的であれば、それが厳密に結合的になる。
• 非退化で不変な内積を持つ Hochschild コサイクル複体では、Connes の $B$-作用素によって誘導される $A_\infty$-構造において、$m_2$ は符号を除いて Gerstenhaber ブラケットに一致する。
• コホモロジー上の $A_\infty$-構造は適切に定義されており、標準的な Gerstenhaber ブラケットを誘導する。これは変形論における既知の構造と整合することを確認する。
• この構成はホモロジカルな次数付き設定で有効であり、$C^\bullet(A,A)[-1]$ 上の誘導される $A_\infty$-構造は Hochschild コバウンダリーと整合する。