[論文レビュー] A-infinity algebras, modules and functor categories

Bernhard Keller|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Rings, Modules, and Algebras被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リューバシチェンコのアイデアとレーヴァーのクィルェンモデルアプローチを基盤とし、余代数の閉モノイダル圏を用いて、A∞ファンクター関手カテゴリの概念的構成を提示する。ファンクター関手カテゴリにおける合成双関手を通じて、結合的代数的構造がホッフ・コホモロジー複体のバー構成に自然に導かれ、導来圏におけるA∞構造のホモトピー論的理解を深める。

ABSTRACT

In this survey, we first present basic facts on A-infinity algebras and modules including their use in describing triangulated categories. Then we describe the Quillen model approach to A-infinity structures following K. Lefevre's thesis. Finally, starting from an idea of V. Lyubashenko's, we give a conceptual construction of A-infinity functor categories using a suitable closed monoidal category of cocategories. In particular, this yields a natural construction of the bialgebra structure on the bar construction of the Hochschild complex of an associative algebra.

研究の動機と目的

• A∞ファンクター関手カテゴリの概念的でファンクター的な構成を、余代数と閉モノイダル構造を用いて行う。
• レーヴァーのフレームワークに従い、A∞代数とA∞モジュールを微分付き余代数のファイブラント対象として解釈する。
• A∞ファンクター関手カテゴリにおける合成を通じて、結合的代数的構造が、可換代数のホッフ・コホモロジー複体のバー構成に自然に導かれるようにする。
• ファンクター的かつホモトピー論的メソッドを用いて、三角的圏および導来圏におけるA∞構造の役割を一般化する。
• dg圏的枠組みを通じて、A∞モジュール、双モジュール、ホッフ・コホモロジーの関係を明確化する。

提案手法

• 完全加法的増分微分付き余代数の圏を、A∞ファンクター関手カテゴリを定義する基盤として用いる。
• レーヴァーのクィルェンモデル構造を適用し、A∞代数をファイブラントなdg余代数、A∞モジュールをファイブラントな余モジュールとして解釈する。
• A∞代数Aのバー構成BAを用い、ファンクター関手カテゴリFun∞(A, C(k)+)をB(Homc(BA, BA))として実現する。
• dg余代数の圏におけるテンソル積と内部Homを用いて、合成双関手を構成し、B(Fun∞(A′,A′′)) ⊗ B(Fun∞(A,A′)) → B(Fun∞(A,A′′)) なる準同型を導出する。
• B(Fun∞(A,A))における恒等関手の自己同型余代数End(1)を、Aのホッフ・複体C(A,A)のバー構成B(C(A,A))として特定する。
• 合成双関手がEnd(1)に結合的乗法を誘導し、双代数構造を与えることを示し、その積はブレース演算子によって与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次圏的およびホモトピー論的道具を用いて、A∞ファンクター関手カテゴリを概念的に自然に構成する方法は何か？
• RQ2 余代数と閉モノイダル構造は、A∞ファンクターとその合成を整理するために果たす役割は何か？
• RQ3 A∞ファンクター関手カテゴリにおける合成は、ホッフ・コホモロジー複体のバー構成に双代数構造をどのように誘導するか？
• RQ4 B(C(A,A))上の双代数構造は、恣意的な定義ではなく、高次圏的合成から導出可能か？
• RQ5 このファンクター的枠組みを通じて、A∞モジュールと双モジュールは、導来圏およびホッフ・コホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• A∞ファンクター関手カテゴリFun∞(A,A′)は、完全加法的増分dg余代数の圏における内部Homのバー構成として自然に実現される。
• Fun∞における合成双関手は、B(Fun∞(A′,A′′)) ⊗ B(Fun∞(A,A′)) → B(Fun∞(A,A′′)) なる準同型を誘導し、自己同型余代数End(1)に双代数構造を与える。
• B(Fun∞(A,A))における恒等関手の自己同型余代数End(1)は、Aの削除済みホッフ・複体C(A,A)のバー構成B(C(A,A))と同型である。
• B(C(A,A))上の双代数構造は、明示的にブレース演算子によって与えられ、ファンクター関手カテゴリにおける合成準同型によって確認される。
• この構成は、従来の明示的公式によって知られていたホッフ・バー複体上の双代数構造を、概念的でファンクター的な説明を提供する。
• この枠組みは、ファンクター関手カテゴリFun∞(A, C(k)+)を介して、A∞モジュール、双モジュール、ホッフ・コホモロジーを1つのdg圏的かつホモトピー論的設定に統合する。