[論文レビュー] A-infinity functors for Lagrangian correspondences

S. Ma’u, Katrin Wehrheim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、単調なラグランジュ的対応関係を用いて、フクヤカテゴリ間の$A_\infty$関手を構成し、ホモロジカルミラー双対性におけるムカイ関手のチェーンレベル類似を確立する。主な結果は、合成が滑らかで埋め込まれている場合、これらの関手の合成が幾何的合成に対応する関手とホモトピー同値であることを示している。

ABSTRACT

We construct A-infinity functors between Fukaya categories associated to monotone Lagrangian correspondences between compact symplectic manifolds. We then show that the composition of A-infinity functors for correspondences is homotopic to the functor for the composition, in the case that the composition is smooth and embedded.

研究の動機と目的

• 単調なラグランジュ的対応関係に関連するフクヤカテゴリ間の$A_\infty$関手を構成し、ミラー双対性に類似したチェーンレベルでの実現を提供する。
• 双対性に基づく従来の構成における合成に関する問題を解決するため、一般化されたラグランジュ的ブレーンを含むようにフクヤカテゴリを拡張する。
• 合成が滑らかで埋め込まれている条件の下で、$A_\infty$関手の合成と対応関係の幾何的合成に対応する関手との間のホモトピー同値性を確立する。
• フロアー・コサイクルを用いて$A_\infty$関手間の自然変換を定義し、フクヤカテゴリーフレームワーク内での関手の整合的計算を可能にする。
• 先行研究のコホモロジーレベルの結果をチェーンレベルに拡張し、導来カテゴリーやホモロジカルミラー双対性と整合性を保つ。

提案手法

• オブジェクトが適切な一般化ラグランジュ的対応関係（方向、グレーディング、相対的スピン構造を含むブレーン構造を有する）である一般化フクヤカテゴリ$\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0,M_1)$を構成する。
• 各単調ラグランジュ的対応関係$L_{01} \subset M_0^- \times M_1$に対して、$\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0)$から$\operatorname{Fuk}^\sharp(M_1)$への$A_\infty$関手$\Phi(L_{01})$を定義する。
• ストリップ状の端を持つクイルト表面の族における擬複素クイルトを用い、擬複素写像のモジュライ空間を通じて$A_\infty$関手の高次演算を定義する。
• フロアー・コサイクル$\alpha \in CF(L_{01}, L_{01}')$を用いて、$A_\infty$関手$\Phi(L_{01})$と$\Phi(L_{01}')$間の自然変換$\mathcal{T}_\alpha$を定義する。
• 符号付きの和を用いた、$A_\infty$演算子と関手成分を含む合成の微分を定義し、自然変換の閉じた性質を保証する。
• 境界条件が合成された対応関係に沿ったクイルトのモジュライ空間から得られる明示的ホモトピーデータを用いて、$\Phi(L_{12}) \circ \Phi(L_{01}) \simeq \Phi(L_{01} \circ L_{12})$を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ的対応関係に対して、フクヤカテゴリの代数的構造を保つような$A_\infty$関手をどのように構成できるか？
• RQ2 関手の合成とラグランジュ的対応関係の幾何的合成との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 フロアー・コサイクルを用いて$A_\infty$関手間の自然変換を定義できるか？また、それらは$A_\infty$構造とどのように作用するか？
• RQ4 対応関係の関手の合成が幾何的合成に対応する関手とホモトピー同値となる条件は何か？
• RQ5 チェーンレベルでの$A_\infty$関手の計算は、コホモロジーレベルの構成や導来カテゴリ一覧とどのように関係するか？

主な発見

• 各単調ラグランジュ的対応関係$L_{01} \subset M_0^- \times M_1$に対して、$\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0)$から$\operatorname{Fuk}^\sharp(M_1)$への$A_\infty$関手$\Phi(L_{01})$が構成され、[42, 定義5.1]のコホモロジーレベルの関手を誘導する。
• ラグランジュ的ブレーン$L_0 \subset M_0$、$L_1 \subset M_1$に対して、$\mathbb{Z}_2$係数で$H\operatorname{Hom}(\Phi(L_{01})L_0, L_1) \cong HF(L_0^- \times L_1, L_{01})$が成り立つ。
• 各フロアー・コサイクル$\alpha \in CF(L_{01}, L_{01}')$に対して、自然変換$\mathcal{T}_\alpha: \Phi(L_{01}) \to \Phi(L_{01}')$が構成され、閉じた前自然変換を形成する。
• 幾何的合成$L_{01} \circ L_{12}$が滑らかで埋め込まれている場合、関手の合成$\Phi(L_{12}) \circ \Phi(L_{01})$は$\Phi(L_{01} \circ L_{12})$とホモトピー同値である。
• 相対的スピンの場合、バックグラウンドクラスのシフトを除き、ホモトピー同値性が保たれ、$A_\infty$構造が保存される。
• 本構成により、従来のコホモロジーレベルの関手のチェーンレベルでの精密化が得られ、ラグランジュ的対応関係に対する$A_\infty$関手の整合的計算が可能になる。