[論文レビュー] $A\_\infty$ weights and compactness of conformal metrics under $L^{n/2}$ curvature bounds

Clara L. Aldana, Gilles Carron+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、調和解析における$A_\infty$-重みを用いて、スカラー曲率と体積に一様な$L^{n/2}$-有界性がある場合の共形リーマン計量のprecompactnessを確立する。このような列は、特異性が生じても、極限計量空間へのGromov-Hausdorff位相での収束を示すが、極限距離が点単位での共形因子の極限によって誘導される距離と一致しないことがある。これは、振動する計量を持つ反例によって示される。

ABSTRACT

We study sequences of conformal deformations of a smooth closed Riemannian manifold of dimension $n$, assuming uniform volume bounds and $L^{n/2}$ bounds on their scalar curvatures. Singularities may appear in the limit. Nevertheless, we show that under such bounds the underlying metric spaces are pre-compact in the Gromov-Hausdorff topology. Our study is based on the use of $A_\infty$-weights from harmonic analysis, and provides geometric controls on the limit spaces thus obtained. Our techniques also show that any conformal deformation of the Euclidean metric on $R^n$ with infinite volume and finite $L^{n/2}$ norm of the scalar curvature satisfies the Euclidean isoperimetric inequality.

研究の動機と目的

• スカラー曲率と体積に一様な$L^{n/2}$-有界性がある場合のリーマン多様体の共形変形の列の逐次コンパクト性を確立すること。
• 曲率集中によって特異性が生じた場合の極限空間の幾何的構造を分析すること。
• Gromov-Hausdorff極限距離が、共形因子の点単位極限によって誘導される距離と一致するかどうかを調査すること。
• 特に$A_\infty$-重みを用いた調和解析の道具を用いて、極限空間に幾何的制御を与えること。
• 振動的挙動を示す共形因子の存在下で、計量極限と共形因子極限の違いを明確にすること。

提案手法

• $A_\infty$-重みを用いてリーマン体積測度を制御し、弱-*収束を保証する。
• Sobolev埋め込みと$W^{2,n/2}$収束を用いて共形因子と曲率ノルムを制御する。
• トーラス上での振動的共形因子$e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1)$を用いた反例の構成により、Gromov-Hausdorff極限がリーマン計量でない可能性を示す。
• 安定ノルムとスケーリングの議論を用いて、Gromov-Hausdorff極限を周期的リーマン計量に関連するフィンスラー計量として同定する。
• Gromov-Hausdorff極限距離$d_\infty$と共形因子の点単位極限によって誘導される距離$d_{f_\infty}$を比較する。
• $A_\infty$-重みの性質を用いて、極限距離と元の計量との間の双ヒルベルト同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な$L^{n/2}$-有界性と体積制御のもとで、共形計量の列はGromov-Hausdorff位相でprecompactか？
• RQ2 Gromov-Hausdorff極限距離は、極限共形因子によって誘導される距離として実現可能か？
• RQ3 $A_\infty$-重み構造は、極限測度と計量にどのような幾何的・解析的制御を提供するか？
• RQ4 振動的共形因子は、距離と体積測度の収束にどのように影響するか？
• RQ5 共形因子が弱収束する場合でも、Gromov-Hausdorff極限がリーマン計量でないのはどのような場合か？

主な発見

• 一様に有界な体積と$L^{n/2}$-スカラー曲率をもつ共形計量の列は、Gromov-Hausdorff位相でprecompactである。
• 極限計量空間は元の計量と双ヒルベルト同値であり、位相的安定性が保証される。
• リーマン体積測度は弱-*収束し、極限測度は元の測度に関して強い$A_\infty$-重みである。
• Gromov-Hausdorff極限距離$d_\infty$は、共形因子の点単位極限によって誘導される距離$d_{f_\infty}$と一致しないことがある。
• 振動的共形因子$e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1}$を用いた反例により、Gromov-Hausdorff極限はフィンスラー非リーマン計量であることが示され、一方共形因子極限はユークリッド計量を与える。
• $L^{n/2}$-ノルムのスカラー曲率は反例で有界のまま保たれるが、曲率テンソルの$L^{n/2}$-ノルムは発散する。これは、主なコンパクト性結果のための曲率有界性の必要性を強調している。