[論文レビュー] A Joint Quantile and Expected Shortfall Regression Framework

Timo Dimitriadis, Sebastian Bayer|RePEc: Research Papers in Economics|Apr 7, 2017

Statistical Methods and Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、条件付き分位数と期待ショートフォール（ES）を同時にモデル化する、厳密に一貫性のある損失関数を用いた新しい共同回帰フレームワークを提案する。この手法により、完全な条件付き分布を仮定せずに回帰パラメータのM推定およびZ推定が可能となり、弱い正則性条件のもとで一貫性および漸近正規性が確立される。数値的安定性の観点からM推定が好まわれる。

ABSTRACT

We introduce a novel regression framework which simultaneously models the quantile and the Expected Shortfall (ES) of a response variable given a set of covariates. This regression is based on a strictly consistent loss function for the pair quantile and ES, which allows for M- and Z-estimation of the joint regression parameters. We show consistency and asymptotic normality for both estimators under weak regularity conditions. The underlying loss function depends on two specification functions, whose choice affects the properties of the resulting estimators. We find that the Z-estimator is numerically unstable and thus, we rely on M-estimation of the model parameters. Extensive simulations verify the asymptotic properties and analyze the small sample behavior of the M-estimator for different specification functions. This joint regression framework allows for various applications including estimating, forecasting, and backtesting ES, which is particularly relevant in light of the recent introduction of ES into the Basel Accords.

研究の動機と目的

• バセルIIIで義務付けられているにもかかわらず、共変数が与えられたときの期待ショートフォール（ES）の直接的な回帰フレームワークの欠如に対処する。
• ESの非明示性（non-elicitability）を補うために、分位数リスク（VaR）と併用した二変量損失関数を用いて、ESとVaRの共同明示性（joint elicitability）を活用する。
• 共変数を用いて同時にα分位数とESを推定する半パラメトリック回帰モデルを開発する。
• 弱い正則性条件のもとで、M推定およびZ推定の両者に対して一貫性および漸近正規性の理論的性質を確立する。
• 仕様関数の選択が推定の効率性、数値的安定性、計算パフォーマンスに与える影響を調査する。

提案手法

• FisslerとZiegel（2016）が提案した、(分位数, ES)のペアに対して厳密に一貫性のある損失関数を用い、真のパラメータが期待損失を最小化することを保証する。
• 完全な分布の仮定を必要とせず、M推定およびZ推定を用いて共同回帰パラメータを推定する。
• Z推定のための推定方程式を導出し、M推定のための目的関数を共同損失関数に基づいて定式化する。
• 推定の漸近的分散および数値的挙動に影響を与える仕様関数を損失関数に組み込む。
• 有限標本における性能を評価するためのシミュレーションを実施し、バイアス、分散、計算時間の観点から異なる仕様選択の影響を検証する。
• M推定が数値的に安定しており、Z推定は不安定であることが示され、実務ではM推定が推奨される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変数を用いて条件付き分位数と期待ショートフォール（ES）を同時にモデル化する共同回帰フレームワークを構築できるか？
• RQ2 分位数とESのペアに対して厳密に一貫性のある損失関数を用いることで、完全な条件付き分布を仮定せずに有効なM推定およびZ推定が可能になるか？
• RQ3 損失関数における仕様関数の異なる選択が、漸近的分散、モーメント条件、および数値的安定性に与える影響は何か？
• RQ4 さまざまな設計設定下での共同分位数-ESモデルにおけるM推定の有限標本的性質は何か？
• RQ5 Z推定に数値的不安定性が生じるため、実務ではM推定がZ推定よりも優れているか？

主な発見

• 提案された共同回帰フレームワークは、完全な条件付き分布を仮定せずに共変数を用いて分位数とESの両方を半パラメトリックに推定可能な最初のものである。
• 弱い正則性条件のもとで、M推定およびZ推定の両者が一貫性および漸近正規性を有しており、本手法の理論的基盤が妥当であることが裏付けられる。
• 実務ではZ推定が数値的に不安定であるため、理論的有効性にもかかわらず、実装には不適切である。
• M推定は、数値的安定性が優れており、シミュレーションでも収束性が信頼できるため、推奨される。
• 損失関数における仕様関数の選択は、漸近的分散および必要なモーメント条件に影響を与えるが、推定の一致性や漸近正規性には影響しない。
• シミュレーションにより、M推定は良好な有限標本的性能を示しており、さまざまな仕様関数においてバイアスが小さく、名目水準に近いカバレッジが達成されている。