[論文レビュー] A Jump Type SDE Approach to Positive Self-Similar Markov Processes

Leif Doering, Mátyás Barczy|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、正の自己相似マルコフ過程（pssMps）を構築するためのジャンプ型確率微分方程式（SDE）アプローチを導入し、ランベール変換を拡張する新しい枠組みを提供する。主な貢献は、特に関連するリーヴィ過程がスペクトル的に負である場合に、連続的にゼロで再起動されるpssMpsを含め、直接的な構成が可能な適切に定義されたSDEの定式化である。

ABSTRACT

We present a new approach to positive self-similar Markov processes (pssMps) by reformulating Lamperti's transformation via jump type SDEs. As applications, we give direct constructions of pssMps (re)started continuously at zero if the Lamperti transformed Levy process is spectrally negative. Our paper can be seen as a continuation of similar studies for continuous state branching processes but the approach seems to be more fruitful in the context of pssMps.

研究の動機と目的

• ランベール変換の制限を克服する新しいSDEベースの枠組みを構築し、正の自己相似マルコフ過程（pssMps）を構築すること。
• 特にランベール変換されたリーヴィ過程がスペクトル的に負である場合に、ゼロから出発するpssMpsの定義の課題に取り組むこと。
• ジャンプ型SDE表現のpssMpsに対する適切な定義（well-posedness）を確立し、強マルコフ性と自己相似性を保証すること。
• パスワイズなランベール表現の制限を避けるために、確率積分を用いたpssMps（再）起動の直接的確率的構成を提供すること。

提案手法

• ランベール変換を介して時間変換されたリーヴィ過程を用いて、pssMpsのジャンプ型SDEを定式化し、変換された過程のリーヴィ過程から導かれる係数を用いる。
• 状態依存のジャンプ強度とドリフトを有するSDEを定義し、$\frac{1}{a}\xi$ のリーヴィ測度 $\Pi^a$ と殺滅率 $q$ を用いる（殺滅ケースの場合）。
• ヤコブとシルヤエフ（2003）の定理IX.4.8を適用し、SDEに関連するマーチングレ問題の適切な定義を証明する。
• リーヴィ過程 $\xi$ のスペクトル的に負である性質を活用し、$\int_{\mathbb{R}}(\mathsf{e}^{u}-1)^2\Pi^a(\mathsf{d}u) < \infty$ を保証することで、係数の連続性と可積分性を確保する。
• 初期条件 $z \geq 0$ に依存する時空間一様係数 $K^z(y,\cdot)$, $b^z(y)$, $c^z(y)$ を定義し、$y < 0$ ではゼロに拡張する。
• 特に $b \to \infty$ のときの $K^0(y,\{ |v| > b \})$ に対して、優越収束と一様可積分性を用いてマーチングレ問題の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロから出発可能なジャンプ型SDEを構築し、正の自己相似マルコフ過程（pssMps）を直接構成できるか。
• RQ2 SDEを用いてランベール変換を再定式化し、ゼロで吸収され、連続的にゼロで再起動される過程を含められるか。
• RQ3 関連するリーヴィ過程がスペクトル的に負である場合に、このようなジャンプ型SDEの適切な定義（well-posedness）を保証する条件は何か。
• RQ4 ランベール過程の寿命が有限（殺滅率 $q > 0$）である場合に、SDEフレームワークは依然として強マルコフ過程を生成できるか。
• RQ5 SDEアプローチは、ゼロでの吸収を超えてパスワイズに拡張可能でありながら、自己相似性とマルコフ性を保持できるか。

主な発見

• 本稿は、リーヴィ過程 $\xi$ 及びそのランベール変換による時間変換版から導かれる係数を用いて、pssMpsの適切に定義されたジャンプ型SDEを確立する。
• スペクトル的に負な $\xi$ の場合、係数 $b^z(y)$, $c^z(y)$, $K^z(y,\cdot)$ は $y \geq 0$ で連続であり、一意な強い解の存在を保証する。
• SDEはゼロから出発する場合でもpssMpsの直接的構成を可能にし、ランベール表現が $z = 0$ で失敗するという制限を克服する。
• SDEフレームワークにより、過程はゼロに吸収され、$\mathbb{P}^\dagger_0$-法則がゼロ過程となり、$0$ がトラップとして機能する。
• ジャンプ測度 $K^z(y,\cdot)$ は、$r \in (0,\infty)$ における積分とリーヴィ測度 $\Pi^a$ を用いて明示的に定義され、有限寿命ケースには殺滅項 $q$ が含まれる。
• $b \to \infty$ のときの $K^0(y,\{ |v| > b \})$ の極限は、$y \in [0,N]$ において一様にゼロに収束し、緊密性が保証され、マーチングレ問題の条件を満たすことが確認される。