[論文レビュー] A Kähler Structure on Cartan Spaces

E. Peyghan, Akbar Tayebi|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カルタン多様体 $ M $ の余接 bundle $ T^*M_0 $ に新しいリーマン計量 $ G $ を導入し、それに伴ってほぼ複素構造 $ J $ を備える。$ M $ が定数負のフラッグ曲率を持つとき、$ (T^*M_0, G, J) $ はケーラー多様体となる。正の曲率の場合は、ゼロ切断のチューブ型近傍でケーラー構造が存在する。著者らは、$ M $ がリーマン的でない限り、$ (T^*M_0, G, J) $ がエインシュタイン的または局所的に対称的であることは不可能であることを示しており、この構成下で非リーマン的カルタン構造はこれらの幾何的性質を有しないことを証明している。

ABSTRACT

In this paper, we define a new metric on Cartan manifolds and obtain a Kähler structure on their cotangent bundles. We prove that on a Cartan manifold M of negative constant flag curvature, (T* M_0, G, J) has a Käahlerian structure. For Cartan manifolds of positive constant flag curvature, we show that the tube around the zero section has a Käahlerian structure. Finally by computing the Levi-Civita connection and components of curvature related to this metric, we show that there is no non- Riemannian Cartan structure such that (T* M_0, G, J) became a Einstein manifold or locally symmetric manifold.

研究の動機と目的

• カルタン多様体 $ M $ の余接 bundle $ T^*M_0 $ に新しいリーマン計量 $ G $ を定義し、その余接 bundle 上でのケーラー幾何学の研究を可能にする。
• ほぼ複素構造 $ J $ が可積分となる条件を調査し、ケーラー構造に至る条件を明らかにする。
• $ (T^*M_0, G, J) $ がエインシュタイン的または局所的に対称的多様体となり得るかを特定し、そのために $ M $ に課される幾何的制約を同定する。
• 計量 $ G $ に関連する曲率成分およびリーマン接続 $ \nabla $ を分析し、特に定数フラッグ曲率を有するカルタン空間に対して考察する。
• この構成下で非リーマン的カルタン構造がエインシュタイン的または局所的に対称的なケーラー多様体を生じえないことを示し、幾何の剛性を特定する。

提案手法

• 対称テンソル場 $ G_{ij} = \frac{1}{\beta}g_{ij} + \frac{v(\tau)}{\alpha\beta}p_i p_j $ を用いて、$ T^*M_0 $ 上に新しいリーマン計量 $ G $ を定義する。ここで $ v $ は $ [0,\infty) $ 上の滑らかな関数であり、$ \alpha, \beta $ は定数である。
• ほぼ複素構造 $ J $ を $ J(\delta_i) = G_{ik}\dot{\partial}^k $ および $ J(\dot{\partial}^i) = -G^{ik}\delta_k $ で定義し、ニエンスキー括弧を用いてその可積分性を分析する。
• $ J $ の可積分性が、$ M $ が定数スカラー曲率 $ c $ を持ち、$ v = -c\alpha\beta^2 $ であるときにかつそのときに限り成立することが示され、$ c < 0 $ の場合に $ T^*M_0 $ 上にケーラー構造が得られる。
• $ c > 0 $ の場合、$ 2\tau < \frac{1}{c\beta^2} $ を満たすチューブ型近傍 $ T_\beta^*M_0 $ 上にケーラー構造を構成する。この条件により計量が正定値かつ非退化であることが保証される。
• 計量 $ G $ のリーマン接続 $ \nabla $ を明示的に計算し、適切な局所フレーム $ (\delta_i, \dot{\partial}^i) $ を用いて曲率テンソルのすべての成分を導出する。
• 曲率およびリッチテンソルの成分を用いて、$ (T^*M_0, G, J) $ がエインシュタイン的または局所的に対称的であるかを分析し、非リーマン的構造を仮定した場合の矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ複素構造 $ J $ が $ T^*M_0 $ 上で可積分となる条件は何か。これによりケーラー構造が得られるか。
• RQ2 $ M $ が定数負のフラッグ曲率を有するカルタン多様体の場合、$ (T^*M_0, G, J) $ はケーラー多様体となるか。
• RQ3 $ M $ が定数正のフラッグ曲率を有するカルタン多様体の場合、ゼロ切断のチューブ型近傍上にケーラー構造が存在するか。
• RQ4 $ M $ が非リーマン的である場合、$ (T^*M_0, G, J) $ がエインシュタイン多様体となり得るか。
• RQ5 $ M $ が非リーマン的である場合、$ (T^*M_0, G, J) $ が局所的に対称的なケーラー多様体となり得るか。

主な発見

• 定数負のフラッグ曲率 $ c < 0 $ を有するカルタン多様体に対して、計量 $ G $ とほぼ複素構造 $ J $ を備えた余接 bundle $ T^*M_0 $ はケーラー構造を有する。
• 定数正のフラッグ曲率 $ c > 0 $ を有するカルタン多様体に対して、$ 2\tau < \frac{1}{c\beta^2} $ を満たすチューブ型近傍 $ T_\beta^*M_0 $ 上にケーラー構造が存在する。
• 計量 $ G $ によって $ (T^*M_0, G, J) $ がエインシュタイン多様体となることは不可能であり、リッチ曲率の計算における矛盾から、$ M $ がリーマン的でない限り成立しないことが示された。
• 同様に、$ (T^*M_0, G, J) $ が局所的に対称的なケーラー多様体となることも、曲率テンソルの共変微分が消える条件から、$ M $ がリーマン的でない限り不可能である。
• リーマン接続を用いた曲率成分の計算により、非ゼロの $ C^{ijk} $（カルタンテンソル）がエインシュタイン的および局所的に対称的条件に矛盾を引き起こすことが判明し、幾何の剛性が証明された。
• これらの結果は、この計量構成下で非リーマン的カルタン構造がケーラー・エインシュタイン的または局所的に対称的なケーラー幾何を実現できないことを示唆している。