[論文レビュー] A Kahler-Einstein inspired anzatz for Spin(7) holonomy metrics and its solution

Osvaldo P. Santillán|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンpactなクaternionケーラー4次元多様体上のR³バンドルとして得られるG₂構造を基に、R-バンドルを構成することにより、Spin(7)ホロノミーを持つ計量の新規アンザッツを提案する。Bryant-Salomの構成とtwistor空間のケーラー・アインシュタイン性にインスピレーションを受けて、非線形常微分方程式系に帰着されるホロノミーの条件が得られ、特定の解はスパイン(2)ホロノミーを有するハイパーケーラー・スワーンバンドル（三Sasakian錐）としての計量をもたらす。

ABSTRACT

We construct propose an anzatz for Spin(7) metrics as an R-bundle over closed G2 structures. These G2 structures are R3 bundles over 4-dimensional compact quaternion Kahler spaces. The inspiration for the anzatz metric comes from the Bryant-Salamon construction of G2 holonomy metrics and from the fact that the twistor space of any compact quaternion Kahler space is Kahler-Einstein. The reduction of the holonomy to a subgroup of Spin(7) gives non linear system relating three unknown functions of one variable. We obtain a particular solution and we find that the resulting metric is a Calabi-Yau cone over an Einstein-Sassaki manifold which means that the holonomy is reduced to SU(4). Another coordinate change show us that our metrics are hyperkahler cones known as Swann bundles, thus the holonomy is reduced to Sp(2) and the cone is tri-Sassakian. We revert our argument and state that the Swann bundle define a closed G2 structure by reduction along an isometry. We calculate the torsion classes for such structure explicitly.

研究の動機と目的

• M理論や超重力理論のコンパクト化において重要な役割を果たす、Spin(7)ホロノミーを持つRiemann計量の新しい明示的例の構成。
• Bryant-SalomのG₂ホロノミー計量の構成を高次元に一般化するため、ファイバー・バンドル構造を拡張すること。
• コンpactなクaternionケーラー4次元多様体のtwistor空間のケーラー・アインシュタイン幾何を、アンザッツの幾何的基盤として活用すること。
• ホロノミー条件を3つの未知関数に関する非線形常微分方程式系に還元し、それらを明示的に解くこと。
• 得られた計量が既知のハイパーケーラー構造（スワーンバンドル）に一致することを特定し、ホロノミーと幾何的性質の確認を行う。

提案手法

• コンパクトなクaternionケーラー4次元多様体に共形定数Λ = 3をもつR³バンドルをとるG₂構造上にR-バンドルとして8次元計量を構成する。
• クaternionケーラー多様体のtwistor空間は正のスカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量をもち、これによりケーラー三重項とスピン接続形式を定義する。
• 径数uの関数f, g, hとτに依存しない1形式Hを用いて計量を定義し、全計量をg₈ = e^(-3h/2)(dt+H)² + e^(2f + h/2)αᵢαᵢ + e^(2g + h/2)g_qとして与える。
• Spin(7) 4形式Φ₄の閉じることを要請し、f, g, hとその微分を関係づける3つの結合された常微分方程式系を課す。
• twistor空間のケーラー形式がdH = -ũᵢJ̄ᵢ + (ε_ijk/2)ũᵢθⱼ∧θₖを満たすことに着目し、Φ₄の閉じることと積分可能性を保証する。
• 得られた計量がSasaki-Einstein多様体上のCalabi-Yau錐であり、さらにハイパーケーラー錐（スワーンバンドル）であることを検証し、ホロノミーがSp(2) ⊂ SU(4) ⊂ Spin(7)に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クaternionケーラー4次元多様体の幾何とそのtwistor空間を用いて、ケーラー・アインシュタインにインスピレーションを受けるアンザッツを構築し、Spin(7)ホロノミー計量を得ることは可能か？
• RQ2 ホロノミーの還元が3つの径関数に関する非線形常微分方程式系に帰着され、それが解けるか？
• RQ3 得られた計量は既知のハイパーケーラー構造（例：スワーンバンドル）に一致するか？ これによりホロノミーと幾何的分類にどのような意味が生じるか？
• RQ4 τ方向への等長的還元により、底面のG₂構造を回復できるか？ その torsion クラスは何か？
• RQ5 twistor空間のケーラー・アインシュタイン性が、Spin(7) 4形式の閉じることとホロノミーの還元を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• アンザッツにより、f, g, hとその微分を関係づける3つの非線形常微分方程式系が得られ、これによりSpin(7)ホロノミー条件が満たされる。
• 特定の解はスワーンバンドルに対応し、8次元のハイパーケーラー計量（ホロノミーSp(2)）をもたらし、三Sasakian錐としての性質を確認する。
• 計量がSasaki-Einstein 7次元多様体上のCalabi-Yau錐であることが示され、ホロノミーがSU(4) ⊂ Spin(7)に還元されることを示す。
• 誘導されたG₂構造のtorsionクラスは計算され、τ₀ = τ₃ = 0であり、τ₂はtwistor空間上のケーラー形式で表される。
• スワーンバンドルがτ-等長変換に沿った等長的還元により、共形的に閉じたG₂構造を定義することを確認し、共形スケーリングによりτ₀が消去されることを示す。
• 全11次元超重力解は、スワーン計量と3次元ミンコフスキー空間の直和として回復され、4つの超対称性が保存される。