[論文レビュー] A Kalman Filtering approach of improved precision for fault diagnosis in distributed parameter systems

Gerasimos Rigatos|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Fault Detection and Control Systems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元非線形波PDEに従う分散パラメータ系における故障診断のための、微分を必要としない非線形カルマンフィルタ手法を提案する。微分平坦性理論を活用してPDEを線形標準形式に変換することで、ヤコビ行列の計算を必要とせず、標準カルマンフィルタを用いて正確な状態推定が可能となり、残差に対する局所的統計的χ²検定により、1%未満のパrameter変化を早期に検出できる。

ABSTRACT

The Derivative-free nonlinear Kalman Filter is proposed for state estimation and fault diagnosis in distributed parameter systems and particularly in dynamical systems described by partial differential equations of the nonlinear wave type. At a first stage, a nonlinear filtering approach for estimating the dynamics of a 1D nonlinear wave equation, from measurements provided from a small number of sensors is developed. It is shown that the numerical solution of the associated partial differential equation results into a set of nonlinear ordinary differential equations. With the application of diffeomorphism that is based on differential flatness theory it is shown that an equivalent description of the system is obtained in the linear canonical (Brunovsky) form. This transformation enables to obtain local estimates about the state vector of the system through the application of the standard Kalman Filter recursion. At a second stage, the local statistical approach to fault diagnosis is used to perform fault diagnosis for the distributed parameters system by processing with elaborated statistical tools the differences (residuals) between the output of the Kalman Filter and the measurements obtained from the distributed parameter system. Optimal selection of the fault threshold is succeeded by using the local statistical approach to fault diagnosis. The efficiency of the proposed filtering approach for performing fault diagnosis in distributed parameters systems is confirmed through simulation experiments.

研究の動機と目的

• 非線形PDEで記述される分散パラメータ系における状態推定と故障診断の課題に取り組むこと。特に、波動型方程式を対象とする。
• 無限次元系に対して従来の拡張カルマンフィルタが内在的に有する計算複雑性と数値誤差を克服すること。
• 最小限のセンサ測定値で、分散系における正確な故障検出と分離を可能にすること。
• テイラー展開に基づく非線形フィルタに一般的に見られるヤコビ行列の計算と切断誤差を回避する手法を開発すること。
• カルマンフィルタの残差を統計的に処理することで、初期段階のパrameter変化を早期に検出すること。

提案手法

• 数値的手法を用いて、非線形PDEを空間的に離散化し、非線形ODEの集合に変換する。
• 微分平坦性理論を適用して、非線形ODEを線形標準（ブルンスキー）形式に変換するための微分同相写像を導出する。
• ヤコビ行列を必要とせず、正確な状態推定が可能な標準カルマンフィルタ再帰式を、線形化されたシステムに適用する。
• カルマンフィルタの出力と、分散系からの実際のセンサ測定値を比較して、残差を生成する。
• 故障診断のための局所的統計的手法は、これらの残差をχ²検定により処理し、パrameterのずれを検出し、故障パラメータを特定する。
• カルマンフィルタ出力のARMAXモデルを用いて推定誤差ダイナミクスを表現し、回帰ベースのイノベーション解析により統計的故障検出を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分を必要としない非線形カルマンフィルタは、1次元非線形波PDEで記述される分散パラメータ系における状態推定に効果的に適用可能か？
• RQ2 微分平坦性理論を用いて、非線形PDEを標準カルマンフィルタに適した線形標準形式に変換可能か？
• RQ3 ヤコビ行列の計算と切断誤差を回避することで、拡張カルマンフィルタに比べてより高い推定精度を達成できるか？
• RQ4 局所的統計的手法は、PDEモデルのパラメータ変化を高い感度で検出可能か？
• RQ5 本手法は、PDE内でどの特定のパラメータがずれを起こしたかを特定できるか？

主な発見

• 提案された微分を必要としない非線形カルマンフィルタは、少数のセンサのみを用いても、1次元非線形波PDEの状態を正確に推定できた。
• ヤコビ行列や偏微分の計算が不要であるため、計算複雑性と数値誤差が低減された。
• χ²検定を用いた局所的統計的手法により、PDE係数Kの変化を0.5%の変化から検出可能であり、1%未満の偏差では検定統計量が閾値を数倍上回った。
• モデリング誤差の導関数を組み込むことで、正規化平方二乗誤差や平均誤差検定よりも優れた性能を示し、故障の早期検出が可能になった。
• 本手法は、フィルタ推定値と実測値のずれを引き起こす特定のパラメータ（K）を正常に特定できた。
• シミュレーション結果により、非線形波PDEに従う分散パラメータ系におけるパラメータ変化の検出と特定が、本手法によって有効に実現されたことが確認された。