[論文レビュー] A KAM scheme for SL(2,R) cocycles with Liouvillean frequencies

Artur Avila, Bassam Fayad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス的またはリウヴィル型の仮定なしに、小分母問題を回避する、SL(2,R)コサイクルに対する新規なKAMスキームを開発する。リウヴィル型周波数を持つ場合に、定数に近いコサイクルがパラメータの正の測度の集合に対して回転に共役であることを証明し、ディナブルグ＝シナの定理を一般化するとともに、解析的準周期的シュレーディンガー・コサイクルにおける非一様双曲性と回転共役性のグローバルな二分岐を確立する。

ABSTRACT

We develop a new KAM scheme that applies to SL(2,R) cocycles with one frequency, irrespective of any Diophantine condition on the base dynamics. It gives a generalization of Dinaburg-Sinai's Theorem to arbitrary frequencies: under a closeness to constant assumption, the non-Abelian part of the classical reducibility problem can always be solved for a positive measure set of parameters.

研究の動機と目的

• ディオファントス周波数に制限されない一般の周波数、特にリウヴィル型周波数に対しても、ディナブルグ＝シナの還元可能性定理を拡張すること。
• ベース周波数に起因する小分母障害に依存せず、非アーベル的還元可能性問題を回転に共役することで解決すること。
• 解析的準周期的シュレーディンガー・コサイクルにおいて、リウヴィル型設定下でも非一様双曲性と回転共役性のグローバルなほとんど確実な二分岐性を確立すること。
• ポテンシャルが定数に近づく際、シュレーディンガー・コサイクルが回転に共役であるエネルギーの集合のLebesgue測度が正であることを証明し、その測度が4に一様収束することを示すこと。

提案手法

• [FK]の『安価なテクニック』を応用した洗練された反復的共役プロセスに基づく、小分母を回避する新規なKAMスキームを構築。再正規化やリウヴィル型仮定を用いない。
• 帰納的近似として戻り時間$Q_k$と双対近似$\bar{Q}_k$の列を用い、摂動$\rho_k$の大きさと共役段階における恒等写像からの距離を制御する。
• 共役後の摂動$\xi_{k+1}$の大きさに対する定量的推定を適用し、$\|\xi_{k+1}\|_{h_{k+1}} \leq C_0 e^{-c \eta_{k+1} \rho_k^2 / |\!|\!|Q_{k+1} \alpha|\!|\!|}$が成り立つことを示し、適切な条件下で急速に減少することを示す。
• 共役写像$B_k$を精密な反復的手続きを用いて構成し、$\|B_k - \text{id}\|_{h(1 - \eta_{k+1})} \leq C_0 U_k^{1/2 - 1/5}$を満たすことで、収束性と解析性を保証する。
• 局所的結果（定理1.3）を繰り返し適用したコサイクル列に適用し、[K, AK1, AK2]で得られた$L^2$で回転に共役であるコサイクルの再正規化の収束性を活用する。
• 反復的に摂動が小さくなることを保証するブートストラップ的議論を実施し、$\overline{Q}_{n_0} \geq T$ならば$\|\xi'\|_{h - \varepsilon/2} \leq U_{n_0}$が成り立つことを利用し、反復の各段階で摂動が小さく保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なSL(2,R)コサイクルの還元可能性問題は、リウヴィル型周波数に対しても、ディオファントス的またはリウヴィル型の仮定なしに解けるか？
• RQ2 ベース周波数に依存せず、定数に近い準周期的SL(2,R)コサイクルが、パラメータの正の測度の集合に対して回転に共役にできるか？
• RQ3 リウヴィル型設定下でも、解析的シュレーディンガー・コサイクルにおいて、非一様双曲性と回転共役性のグローバルな二分岐性が成立するか？
• RQ4 ポテンシャルが定数に近づく際、シュレーディンガー・コサイクルが回転に共役であるエネルギーの集合の測度的性質はいかなるものか？

主な発見

• 任意の無理数周波数$\alpha$と、定数に近い解析的関数$v$に対し、シュレーディンガー・コサイクル$(\alpha, S_{v,E})$が回転に共役であるエネルギー$E$の正の測度の集合が存在する。
• このようなエネルギーの集合$X(v,\alpha)$のLebesgue測度は、$v$が定数に近づくにつれて一様に4に収束し、定数ポテンシャルの場合の測度と一致する。
• 非定数$v$の場合、リャプノフ指数が0であるエネルギー集合の測度は4未満であるが、回転共役性を示す集合の測度は正である。
• 定理1.2におけるグローバル二分岐性が成立する：ほとんどすべての$E$に対して、コサイクルは非一様双曲的であるか、解析的に回転のコサイクルに共役である。リウヴィル型$\alpha$に対しても成立する。
• 絶対連続スペクトルの本質的台において、一般化固有関数はほとんど確実に有界である。これはリウヴィル型設定下でのシュレーディンガー予想の主要予測を裏付ける。
• 反復的KAMスキームにより、共役後の摂動$\xi_{k+1}$が指数的に減少し、$\|\xi_{k+1}\|_{h_{k+1}} \leq C_0 e^{-c \eta_{k+1} \rho_k^2 / |\!|\!|Q_{k+1} \alpha|\!|\!|}$を満たす。これにより、緩い条件下でも収束が保証される。