[論文レビュー] A Kernel Method for Positive 1-in-3-SAT.

Valentin Bura|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Constraint Satisfaction and Optimization被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、代数的手法—具体的にはガウスの消去法と代入—を用いて、正の1-in-3 SATのカーネル化手法を提示する。この手法により、等式制約を伴う0/1整数計画法のより小さな同等のインスタンスに問題を還元する。主な貢献は、変数数が最大で2/3|V|、節数が|C|である多項式時間でのカーネル化であり、解の数を数える問題の複雑さに対する改善された上界を可能にする。

ABSTRACT

We illustrate the strength of Algebraic Methods, adapting Gaussian Elimination and Substitution to the problem of Exact Boolean Satisfiability. For 1-in-3 SAT with non-negated literals we are able to obtain considerably smaller equivalent instances of 0/1 Integer Programming restricted to Equality only. Both Gaussian Elimination and Substitution may be used in a processing step, followed by a type of brute-force approach on the kernel thus obtained. Our method shows that Positive instances of 1-in-3 SAT may be reduced to significantly smaller instances of I.P.E. in the following sense. Any such instance of $|V|$ variables and $|C|$ clauses can be polynomial-time reduced to an instance of 0/1 Integer Programming with Equality, of size at most $2/3|V|$ variables and at most $|C|$ clauses. We obtain an upper bound for the complexity of counting, $O(2\kappa r 2^{(1-\kappa) r})$ for number of variables $r$ and clauses to variables ratio $\kappa$. We proceed to define formally the notion of a non-trivial kernel, defining the problems considered as Constraint Satisfaction Problems. We conclude showing the methods presented here, giving a non-trivial kernel for positive 1-in-3 SAT, imply the existence of a non-trivial kernel for 1-in-3 SAT.

研究の動機と目的

• 代数的手法を用いて、正の1-in-3 SATの多項式時間カーネル化技術を開発すること。
• 正の1-in-3 SATのインスタンスを、等式制約のみを含む0/1整数計画法（I.P.E.）の著しく小さい同等のインスタンスに還元すること。
• カーネル化された定式化を通じて、1-in-3 SATの解の数を数える問題の複雑さに対する上界を確立すること。
• 制約充足問題（CSP）の文脈において、非自明なカーネルを明確に定義し、一般の1-in-3 SATにその結果を拡張すること。

提案手法

• 否定されないリテラルを含むブール充足問題に、ガウスの消去法と代入を適応すること。
• 正の1-in-3 SATを、等式制約のみに制限された同等の0/1整数計画法インスタンスに変換すること。
• 代数的消去法と代入を用いた処理ステップを適用し、問題サイズを縮小すること。
• 得られたカーネル上でブルートフォース法を用いて元の問題を解くこと。
• 制約充足問題（CSP）の文脈において非自明なカーネルを定義すること。
• 節数と変数数の比（κ）および変数数（r）に基づいて、複雑さの上界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウスの消去法や代入といった代数的手法は、正確なブール充足問題を解くために効果的に適応可能か？
• RQ2 正の1-in-3 SATインスタンスは、等式制約を伴う0/1整数計画法インスタンスに、どの程度まで著しく小さい同等のものに還元可能か？
• RQ3 正の1-in-3 SATの非自明なカーネルの最大サイズは何か？ また、入力サイズに従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 正の1-in-3 SATに適用されるカーネル化手法は、一般の1-in-3 SATに拡張可能か？
• RQ5 カーネル化後に、解の数を数える問題の複雑さはどの程度の上界を得るか？

主な発見

• 任意の|V|個の変数と|C|個の節を含む正の1-in-3 SATインスタンスは、多項式時間内に、変数数が最大で2/3|V|、節数が|C|である同等の0/1整数計画法（等式制約付き）に還元可能である。
• 本手法は、制約系における代数的構造を活用することで、正の1-in-3 SATに対する非自明なカーネルを達成する。
• 解の数を数える問題の複雑さに対する上界として、O(2^κr × 2^(1−κ)r) が導出され、ここでrは変数数、κは節数と変数数の比である。
• カーネル化アプローチにより、一般の1-in-3 SATに対しても非自明なカーネルが存在することが示唆され、正のケースにとどまらない結果の拡張が可能である。
• 変換は充足可能性を保持しており、還元されたカーネル上でブルートフォース法を用いることで効率的な解法が可能である。