[論文レビュー] A Kernel Two-Sample Test for Functional Data

George Wynne, A. Duncan|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2020

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 85被引用数 32

ひとこと要約

関数データの分布を比較するためのノンパラメトリックなカーネルベースの二標本検定を提案し、関数空間上のMMDを用い、ヒルベルト空間上のカーネルに関する理論と離散化観測のスケーリング解析を提供する。

ABSTRACT

We propose a nonparametric two-sample test procedure based on Maximum Mean Discrepancy (MMD) for testing the hypothesis that two samples of functions have the same underlying distribution, using kernels defined on function spaces. This construction is motivated by a scaling analysis of the efficiency of MMD-based tests for datasets of increasing dimension. Theoretical properties of kernels on function spaces and their associated MMD are established and employed to ascertain the efficacy of the newly proposed test, as well as to assess the effects of using functional reconstructions based on discretised function samples. The theoretical results are demonstrated over a range of synthetic and real world datasets.

研究の動機と目的

• 離散化された関数から生じる機能データに対するノンパラメトリックな二標本検定の動機付け。
• 機能データを扱うため、実数で分離可能なヒルベルト空間に対してカーネルベースのMMD検定を一般化する。
• 関数空間上で特徴的なカーネルとなる条件を確立し、対応するRKHSを記述する。
• 離散化（メッシュサイズ）が検定力に与える影響と、カーネルのスケーリングによってそれを緩和する方法を分析する。
• 合成データと実データの双方で理論的性質と経験的性能を示す。

提案手法

• 実数で分離可能なヒルベルト空間とそのRKHS上のカーネルを定義し、研究する。
• 関数空間上の二標本検定の統計量としてMaximum Mean Discrepancy (MMD)を導入し、用いる。
• 閉形式のMMDの表現と不偏推定量（U-statisticおよび線形時間版）を提供する。
• ガウス過程に対して、離散化に依存しない検出力を達成するよう、メッシュサイズとカーネル帯域のスケーリングを分析する。
• 関数空間上の平方指数型カーネル（SE-T）を構築・特徴付け、RKHSの記述を導出する。
• 再構成された機能データの使用の影響を論じ、弱収束との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間上のカーネルを特徴的にする条件とは何か、これにより関数に対する分布の距離がMMDを距離として成立するか？
• RQ2 関数データのカーネル二標本検定の検出力は、離散化（メッシュサイズ）によってどのように影響を受け、カーネルのスケーリングで緩和できるか？
• RQ3 関数のヒルベルト空間上で直接カーネルを定義するにはどうすればよく、そのRKHSの構造はどうなるか？
• RQ4 機能データ設定におけるMMD推定量（不偏および線形時間版）の漸近分布と検出力特性はどうなるか？
• RQ5 ガウス過程の仮定は、検定の閉形式のMMD表現とスケーリング法則を導くのにどう役立つか？

主な発見

• MMDに基づく関数空間上のカーネル二標本検定は、特徴的なカーネルを用いることで有効な検定を保証できる。
• 平均シフトの対立仮説下で、適切な帯域幅のスケーリングによりMMDベースの検定力を漸近的にメッシュサイズに依存しないようにできる。
• 実数分離可能なヒルベルト空間上の広いカーネルクラスを開発し、ヒルベルト空間上の平方指数型カーネル（SE-T）について明示的なRKHSの特徴付けを行う。
• 離散化された機能データの再構成は検定に影響を及ぼし、理論的な結果がその影響を定量化する。
• 本論文は、既存の機能データ二標本検定と比較したカーネルベース検定の理論的成果と数値実験を提供し、スケーリングと有効性を検証している。