[論文レビュー] A KLR Grading of the Brauer Algebras

Li Ge|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特徴が 0 の体上の KLR に類似した関係を持つ Z-次数代数 $G_n(\delta)$ を構成し、それがブラウアー代数 $B_n(\delta)$ に同型であることを証明する。この同型写像により、$B_n(\delta)$ に非自明な Z-次数構造が導入され、明示的な同次セルラー基底が得られ、KLR スタイルの提示を通じて $B_n(\delta)$ が次数付きセルラー代数であることが示される。

ABSTRACT

We construct a naturally $\mathbb Z$-graded algebra $\mathscr G_n(δ)$ over $R$ with KLR-like relations and give an explicit isomorphism between $\mathscr G_n(δ)$ and $\mathscr B_n(δ)$, the Brauer algebras over $R$, when $R$ is a field of characteristic 0. This isomorphism allows us to exhibit a non-trivial $\mathbb Z$-grading on the Brauer algebras over a field of characteristic 0. As a byproduct of the proof, we also construct an explicit homogeneous cellular basis for $\mathscr G_n(δ)$.

研究の動機と目的

• 特徴が 0 の体上の、巡回的クーヴィー・ヘック代数の関係に類似した関係を持つ Z-次数代数 $G_n(\delta)$ を構成すること。
• $G_n(\delta)$ とブラウアー代数 $B_n(\delta)$ の間の同型写像を確立し、これにより $B_n(\delta)$ に非自明な Z-次数構造が与えられること。
• $G_n(\delta)$ に対して明示的な同次セルラー基底を構成し、$B_n(\delta)$ が次数付きセルラー代数であることを証明すること。

提案手法

• タイプ A の KLR 代数に類似した関係を用いて、生成元 $e(i), y_k, \psi_k, \epsilon_k$ による $G_n(\delta)$ の定義。
• 上り下りテーブルックスに添え字付けられた同次元の元 $\psi^{st}$ の集合を構成し、$\deg \psi^{st} = \deg s + \deg t$ を満たす。
• セルラーに類似した乗法則（命題 5.27）を用いて、$G_n(\delta)$ が $\{ \psi^{st} \}$ で張られることを証明し、$\dim G_n(\delta) \leq (2n-1)!$ を得る。
• 標準的生成子への生成元の写像を用いて、$G_n(\delta) \to B_n(\delta)$ への全射代数準同型を構成し、半正規形と既知の関係を用いる。
• 基底 $\{ \psi^{st} \}$ が $ (2n-1)!! $ 個の元を持つこと、$\dim B_n(\delta)$ と一致することを示し、写像が単射であることを証明する。これにより同型写像が得られる。
• $\{ \psi^{st} \}$ が同次セルラー基底の公理（同次性および $*$-対合）を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が 0 の体上のブラウアー代数 $B_n(\delta)$ に非自明な Z-次数構造を導入できるか？
• RQ2 このような次数構造を実現する KLR に類似した提示は存在するか？
• RQ3 巡回的クーヴィー・ヘック代数に類似した同次セルラー基底は、ブラウアー代数に存在するか？
• RQ4 $G_n(\delta)$ と $B_n(\delta)$ の同型写像は、セルラー基底の構成によって確立できるか？

主な発見

• 定理 B により、$G_n(\delta)$ は特徴が 0 の体上のブラウアー代数 $B_n(\delta)$ に同型であることが証明された。
• 同型写像により、$B_n(\delta)$ は $G_n(\delta)$ からの非自明な Z-次数構造を引き継ぎ、次数代数となる。
• 定理 C により、集合 $\{ \psi^{st} \}$ は $G_n(\delta)$ の同次セルラー基底であり、したがって $B_n(\delta)$ の同次セルラー基底である。
• $G_n(\delta)$ の次元は $ (2n-1)!! $ 未満に抑えられ、$\dim B_n(\delta)$ と一致するため、基底が張り、線形独立であることが確認された。
• 命題 5.27 により、基底 $\{ \psi^{st} \}$ はセルラー乗法則を満たし、そのセルラー構造が確認された。
• 定理 7.79 により、$E_n(\delta)$ を $\epsilon_k$ で生成される両側イデアルとするとき、商 $G_n(\delta)/E_n(\delta)$ は巡回的クーヴィー・ヘック代数 $R^\Lambda_n$ に同型である。