[論文レビュー] A Kohno-Drinfeld theorem for quantum Weyl groups

Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$mathfrak{sl}_n$ のカルタン部分代数の正則部分上での $W$-不変な平坦接続のモノドロミーが、量子群 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ の有限次元表現への一般化されたブレード群 $B_n$ の量子ワイル群作用に同値であるという予想を証明する。証明は $mathfrak{gl}_k$ と $mathfrak{gl}_n$ 間の双対性を用いて接続を Knizhnik–Zamolodchikov 方程式と関連付け、Kohno–Drinfeld 定理を適用して $R$-行列作用によるモノドロミー表現を同定する。

ABSTRACT

Let g be a complex, simple Lie algebra and t a Cartan subalgebra of g. A new unitary, flat connection on t with values in any finite-dimensional g-module V and simple poles along the root hyperplanes was recently introduced by J. Millson and myself. This connection depends upon a complex parameter h and I conjectured that its monodromy is equivalent to the quantum Weyl group representation of the braid group of type g defined by Lusztig, Kirillov-Reshetikhin and Soibelman via the quantum group U_{h}g. In this paper, I prove this conjecture for g=sl_{n}.

研究の動機と目的

• $mathfrak{sl}_n$ のカルタン部分代数の正則部分 $mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}$ 上での $W$-不変な平坦接続のモノドロミーが、一般化されたブレード群 $B_{\mathfrak{g}}$ の量子ワイル群作用に同値であるという予想を証明すること。
• $\mathfrak{gl}_k$ と $\mathfrak{gl}_n$ の双対的作用を通じて、平坦接続 $\nabla_\kappa$ と Knizhnik–Zamolodchikov 接続を結びつけること。
• $\mathfrak{sl}_n$ の接続 $\nabla_\kappa$ のモノドロミーが、$mathfrak{gl}_k$ と $mathfrak{gl}_n$ 間の双対性の下で、$U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 上の $R$-行列表現に一致することを示すこと。
• 双対性が $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ の $R$-行列表現と $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ の量子ワイル群表現を交換することを完成させること。

提案手法

• $\mathcal{M}_{k,n}$（$k\times n$ 行列の空間）上での $\mathfrak{gl}_k$ と $\mathfrak{gl}_n$ の作用の双対性を用いて、$mathfrak{sl}_n$ の接続 $\nabla_\kappa$ を $mathfrak{sl}_k$ の Knizhnik–Zamolodchikov 接続に関連付ける。
• Kohno–Drinfeld 定理を適用して、$mathfrak{sl}_k$ の KZ 接続のモノドロミーを $V^{\bigotimes n}$ 上での $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ の $R$-行列表現に等置する。
• $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$ と $U_\hbar\mathfrak{gl}_n$ 間の双対性を用いて、$U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ の $R$-行列表現を $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ の量子ワイル群表現に同定する。
• 量子ワイル群作用を保存するように、$mathfrak{gl}_k$-加群 $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ と $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-加群 $\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ 間の同型を実装するトゥイスト $F^{(n)}$ を構成する。
• 量子対称代数構造を通じて、$\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ と $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ が $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-加群として同定されることに依存する。
• モノドロミー表現 $\pi_\kappa^h(T_j)$ を、量子ワイル群元 $S_j$ と重み作用素 $D_j^{(n)}$ の指数関数的因子による共役作用として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathfrak{sl}_n$ の $W$-不変な平坦接続 $\nabla_\kappa$ が $\mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}/W$ 上で定義されるとき、そのモノドロミーはブレード群 $B_n$ の量子ワイル群作用と一致するか？
• RQ2 $\mathfrak{gl}_k$ と $\mathfrak{gl}_n$ 間の双対性を用いて、$\mathfrak{sl}_n$ の $\nabla_\kappa$ を $mathfrak{sl}_k$ の Knizhnik–Zamolodchikov 接続に関連付けることができるか？
• RQ3 $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ の対称的ベクトル表現の $R$-行列表現が、$mathfrak{gl}_k$–$mathfrak{gl}_n$ 雙対性の下で、$U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ の量子ワイル群表現に同値であるか？
• RQ4 $\nabla_\kappa$ のモノドロミーは、トゥイスト $F^{(n)}$ を通じて、量子ワイル群元 $S_j$ の共役作用として表現可能か？

主な発見

• $\mathfrak{sl}_n$ の平坦接続 $\nabla_\kappa$ が $\mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}/W$ 上で定義されるとき、そのモノドロミーは、任意の有限次元 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$-加群上での $B_n$ の量子ワイル群作用と同型である。
• $\mathfrak{gl}_k$ と $\mathfrak{gl}_n$ 間の双対性により、$mathfrak{sl}_k$ の Knizhnik–Zamolodchikov 接続と $mathfrak{sl}_n$ の接続 $\nabla_\kappa$ が交換され、それらのモノドロミー表現の間の対応関係が確立される。
• 双対性の下で、$U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ の $\bigoplus_{\nu\in\SS_n\mu} \mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ 上の $R$-行列表現は、$U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ の量子ワイル群表現に同値であり、トゥイスト $F^{(n)}$ を通じて実現される。
• モノドロミー作用素 $\pi_\kappa^h(T_j)$ は、$F^{(n)}{-1} S_j e^{-\hbar H_j^{(n)}/2} F^{(n)}$ として与えられる。ここで $H_j^{(n)}$ は $mathfrak{sl}_n$ の第 $j$ 個の単純根に対応する重み作用素である。
• $\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ と $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ が $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-加群として同定可能であることに基づき、量子設定において Kohno–Drinfeld 定理を適用可能である。