[論文レビュー] A Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series

Anna-Maria von Pippich|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、第一種の一般のフクシアン群に対する楕円型エーゼルスタイン級数の有理型関数への解析接続を確立し、その極と留数を計算し、クラインカー・リミット型の公式を導出する。スペクトル理論と自己共役グリーン関数との関係を用いて、$ s = 0 $ におけるローラン展開を証明し、$ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ に対して、極限関数を正則モジュラー形式の言葉で表現する。

ABSTRACT

Let $Γ\subset\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ be a Fuchsian subgroup of the first kind acting by fractional linear transformations on the upper half-plane $\mathbb{H}$, and let $M=Γ\backslash\mathbb{H}$ be the associated finite volume hyperbolic Riemann surface. Associated to any cusp of $M$, there is the classically studied non-holomorphic (parabolic) Eisenstein series. In 1979, Kudla and Millson studied non-holomorphic (hyperbolic) Eisenstein series associated to any closed geodesic on $Γ\backslash\mathbb{H}$. In 2004, Jorgenson and Kramer introduced so-called elliptic Eisenstein series associated to any elliptic fixed point of $M$. In the present article, we prove the meromorphic continuation of the elliptic Eisenstein series and we explicitly compute its poles and residues. Further, we derive a Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series for general $Γ$. Finally, for the full modular group $\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{Z})$, we give an explicit formula for the Kronecker's limit functions in terms of holomorphic modular forms.

研究の動機と目的

• 任意の第一種のフクシアン部分群 $ \Gamma $ に対して、楕円型エーゼルスタイン級数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ が複素 $ s $-平面全体に有理型関数として解析接続可能であることを確立すること。
• 楕円型エーゼルスタイン級数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ の極と留数を明示的に計算すること。
• 古典的クラインカー・リミット公式（放物型エーゼルスタイン級数に類似）に類似した、楕円型エーゼルスタイン級数のクラインカー・リミット型の公式を導出すること。
• 全モジュラー群 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ に対して、クラインカー・リミット関数を正則モジュラー形式の言葉で明示的な式で表すこと。

提案手法

• 双曲的リーマン面 $ M = \Gamma \backslash \mathbb{H} $ 上のスペクトル理論を用いて、楕円型エーゼルスタイン級数を分析する。
• 楕円型エーゼルスタイン級数と $ M $ 上で平方可積分である楕円型パウインカーレ級数との関係を確立し、スペクトル展開を用いて有理型関数への解析接続を可能にする。
• 自己共役グリーン関数 $ G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $ を用い、超幾何関数と双曲的距離を通じて、これと楕円型エーゼルスタイン級数との間の重要な恒等式を導出する。
• ガンマ関数の倍積分公式を適用し、恒等式 $ F(s,s;2s;z) = (1 - z/2)^{-s} F(s/2, (s+1)/2; s+1/2; z^2/(2-z)^2) $ を用いて、グリーン関数を $ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $ の形に表現する。
• スペクトル展開の形 $ \mathcal{G}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $ を導出し、グリーン関数とエーゼルスタイン級数を結びつける。
• 恒等式 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(s/2)_k a_k(s)}{k!} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $ を用いて、$ s = 0 $ におけるローラン展開を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の第一種のフクシアン部分群 $ \Gamma $ に対して、楕円型エーゼルスタイン級数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ の有理型関数への解析接続はどのように行われるか？
• RQ2 楕円型エーゼルスタイン級数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ の極の位置と留数は何か？
• RQ3 放物型エーゼルスタイン級数の古典的クラインカー・リミット公式に類似した、楕円型エーゼルスタイン級数のクラインカー・リミット型の公式を導出可能か？
• RQ4 全モジュラー群 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ に対して、クラインカー・リミット関数を正則モジュラー形式の言葉で明示的に表現可能か？

主な発見

• 楕円型エーゼルスタイン級数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $ は複素 $ s $-平面全体に有理型関数として解析接続可能である。
• $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $ の極が明示的に特定され、スペクトル法を用いてその留数が計算されている。
• クラインカー・リミット型の公式が確立された：$ s = 0 $ において、ローラン展開は $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = O(s^2) $ を満たし、$ s = 0 $ で正則であることが示された。
• $ \Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ の場合、クラインカー・リミット関数は正則モジュラー形式を用いて表現され、ローラン展開の定数項に対する明示的公式が得られた。
• 超幾何級数と双曲的距離を通じて、楕円型エーゼルスタイン級数と自己共役グリーン関数との関係が確立され、$ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $ を含むスペクトル展開が得られた。
• 恒等式 $ g_s(z,w) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $ が証明され、グリーン関数とエーゼルスタイン級数を結びつけることが可能になった。