[論文レビュー] A $L^\infty$ bound for the Cahn--Hilliard equation with relaxed non-smooth free energy

Christian Kahle|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Cahn–Hilliard方程式に緩和された二重障害ポテンシャルを用い、Moreau–Yosida正則化を適用することで、物理的制約 $|\varphi| \leq 1$ の違反に対する $L^\infty$ 界を確立する。最適制御理論の解析的手法と Hölder 正則性推定を組み合わせることで、制約違反の収束速度を緩和パラメータの関数として導出し、多相流モデルにおける物理的一致性を保証するための位相場の一様有界性を確保する。

ABSTRACT

Phase field models are widely used to describe multiphase systems. Here a smooth indicator function, called phase field, is used to describe the spatial distribution of the phases under investigation. Material properties like density or viscosity are introduced as given functions of the phase field. These parameters typically have physical bounds to fulfil, e.g. positivity of the density. To guarantee these properties, uniform bounds on the phase field are of interest. In this work we derive a uniform bound on the solution of the Cahn--Hilliard system, where we use the double-obstacle free energy, that is relaxed by Moreau--Yosida relaxation.

研究の動機と目的

• 緩和された二重障害自由エネルギーを有する Cahn–Hilliard 方程式の解に対して、一様 $L^\infty(\Omega)$ 界を確立し、位相場の非物理的値の発生を回避すること。
• 密度や粘度などの物性が正のままであることを保証することで、位相場モデルにおける物理的一致性を確保すること。
• 最適制御理論における収束速度結果を、ノイマン境界条件を有する Cahn–Hilliard システムへと拡張すること。
• 2次元および3次元において、適応有限要素法とニュートン法を用いて理論的界を数値的に検証すること。
• 緩和系におけるペナルティ項の異なる数値的取り扱い（正確な積分、 lumping、補間）が収束性および制約違反に与える影響を比較・評価すること。

提案手法

• 二重障害自由エネルギーを有する Cahn–Hilliard システムを定式化し、非滑らかポテンシャルを取り扱うために Moreau–Yosida 正則化を適用する。
• 緩和系を $H^1(\Omega)$ 上の制約付き最適制御問題の一次最適性条件として解釈する。
• [HSW14] における $C(\bar{\Omega})$-制約付き最適制御に関する手法を適応し、制約違反に対する $L^1(\Omega)$ 界を導出し、その後 $L^\infty(\Omega)$ 界を導出する。
• 解の構造的仮定を課すことにより、初期推定値を超える $L^\infty$ 界の改善を図る。
• 残差に基づく誤差推定子と Dörffer のマーク戦略を用いた適応有限要素法によるメッシュの細分化を実施する。
• FEniCS と PETSc、MUMPS を用いて 2次元および3次元の数値実験を実施。非線形系は、ペナルティ項の数値積分処理の違いを考慮してニュートン法で解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩和された二重障害自由エネルギーを有する Cahn–Hilliard 方程式の位相場解に対して、一様 $L^\infty(\Omega)$ 界を確立できるか？
• RQ2 Moreau–Yosida 正則化パラメータ $s$ の関数として、制約違反 $\|\lambda(\varphi^s)\|_{L^\infty(\Omega)}$ の収束速度はどのように変化するか？
• RQ3 異なる数値積分スキーム（正確な積分、lumping、補間）が、実際の収束性および $L^\infty$ 界の精度に与える影響は何か？
• RQ4 適応メッシュ細分化および非線形系に対するニュートン法を用いた場合、理論的 $L^\infty$ 界は有効に保たれるか？
• RQ5 異なるペナルティ項を有する場合、2次元および3次元空間において導出された界は数値的に検証可能か？

主な発見

• 本稿では、物理的制約 $|\varphi| \leq 1$ の違反に対する理論的 $L^\infty(\Omega)$ 界を確立し、位相場が物理的に意味のある範囲内に保たれることを保証する。
• 緩和パラメータ $s$ が増加するに従い、界は $\mathcal{O}(s^{-1/2})$ の速度で減少し、最適制御理論の結果と整合的である。
• 数値実験により、2次元および3次元の全テスト設定において理論的界が達成されていることが確認された。
• ペナルティ項 $\lambda(\varphi^s)$ が補間処理される場合、$s$ が大きいとニュートン法の収束が失敗するが、正確な積分および lumping 手法は安定に動作する。
• $k>2$ の高次ペナルティ項 $\lambda_k$ では、同等の制約違反を得るためにはより大きな $s$ 必要であるが、理論的界は依然として有効である。
• 適応有限要素戦略は界面層を効果的に解像し、異なる空間次元および緩和パラメータにおいても精度を維持する。