[論文レビュー] A Lagrange-Galerkin scheme with a locally linearized velocity for the Navier--Stokes equations

Masahisa Tabata, Shinya Uchiumi|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、粒子軌道を追跡するために後退オイラー法に局所線形化された速度近似を用いることで、数値積分誤差を排除する、ナヴィエ–ストークス方程式の新しいラグランジュ–ガレルキン有限要素スキームを提案する。このスキームは正確な実装を保証し、速度と圧力の両方について $\/ell^{\infty}(H^{1})\times\ell^{2}(L^{2})$ の誤差推定を満たす安定かつ最適収束性を示す。$ \mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ および $\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 要素が用いられる。

ABSTRACT

We present a Lagrange--Galerkin scheme free from numerical quadrature for the Navier--Stokes equations. Our idea is to use a locally linearized velocity and the backward Euler method in finding the position of fluid particle at the previous time step. Since the scheme can be implemented exactly as it is, the theoretical stability and convergence results are assured. While the conventional Lagrange--Galerkin schemes may encounter the instability caused by numerical quadrature errors, the present scheme is genuinely stable. For the $\pk 2/\pk 1$- and $\mini$-finite elements optimal error estimates are proved in $\ell^\infty(H^1) imes \ell^2(L^2)$ norm for the velocity and pressure. We present some numerical results, which reflect these estimates and also show the genuine stability of the scheme.

研究の動機と目的

• 複合関数項の数値積分誤差によって引き起こされる従来のラグランジュ–ガレルキンスキームの不安定性を解消すること。
• 数値積分に依存せずに、方法の正確な実装を可能にするスキームの開発。
• 現実的な有限要素離散化のもとで、速度と圧力の自然なノルムにおける最適収束レートの証明。
• 高レイノルズ数流れにおけるロバストネスの検証。標準スキームはしばしば振動を引き起こすため、性能が著しく劣る。

提案手法

• 粒子軌道のためのODE系の正確な解の代わりに、局所線形化された速度近似を導入する。
• 後退オイラー法を用いて、前時刻における特徴曲線の足を、局所線形化された速度を用いて計算する。
• 近似軌道写像を用いた特性法によるナヴィエ–ストークス方程式の弱形式を構築する。
• $\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ および $\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 有限要素を、それぞれ速度と圧力に用いてスキームを実装する。
• 近似速度写像の区分線形構造を活用して、すべての項の正確な積分を保証する。
• $\ell^{\infty}(H^{1})\times\ell^{2}(L^{2})$ ノルムにおける速度と圧力の最適誤差推定を導出し、証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値積分誤差を回避しつつ、最適収束レートを維持できるラグランジュ–ガレルキンスキームを構築できるか？
• RQ2 後退オイラー法における局所線形化された速度の使用は、対流優勢なナヴィエ–ストークス流れに対して安定的かつ正確なスキームをもたらすか？
• RQ3 本スキームの収束次数は、$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ および $\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 要素について、$\ell^{\infty}(H^{1})$ および $\ell^{2}(L^{2})$ ノルムでそれぞれどの程度か？
• RQ4 標準的なラグランジュ–ガレルキンスキームと比較して、高レイノルズ数流れにおける本スキームの性能はいかがなものか？
• RQ5 ラグランジュ–ガレルキンスキームが、リーマン・ドライブン・キャビティ流れのようなベンチマーク問題において、振動を生じさせることなく安定性と精度を維持できるか？

主な発見

• 本スキームは、$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ および $\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 要素の両方において、$\Delta t = h^2$ の条件下で、速度について $\ell^{\infty}(H^{1})$ の $O(h^2)$ の最適収束レート、圧力について $\ell^{2}(L^{2})$ の $O(h^2)$ の最適収束レートを達成する。
• $\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 要素では、$\Delta t = h^2$ の下で、速度について $\ell^{\infty}(L^{2})$ の $O(h^2)$ 収束を達成する。
• $\Delta t = h^3$ のとき、$\mathrm{P}_{1}^{\text{+}}/\mathrm{P}_{1}$ 場合において、速度について $\ell^{\infty}(L^{2})$ の $O(h^3)$ 収束が達成され、理論的予想と一致する。
• 数値実験により、本スキームは高レイノルズ数（$\nu = 10^{-4}$ および $10^{-5}$）でも安定で、振動を生じさせないことが確認された。一方、標準スキームは不適切な振動を示す。
• リーマン・ドライブン・キャビティ流れ問題においても、本スキームは $\nu = 10^{-4}$ および $10^{-5}$ の下で、$t^n = 8$ 時点においても速度成分に不安定性や振動を観測しなかった。
• 数値結果で観察された収束次数は、理論的予測と非常に近い結果を示し、誤差推定の妥当性が裏付けられた。