[論文レビュー] A Lagrangian fluctuation-dissipation relation for scalar turbulence

Theodore D. Drivas, Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スカラー散逸を後退軌道でサンプリングしたスカラー入力の分散に関連付ける正確なラグランジュ的フラクチュエーション・ドリフト関係を導出し、乱流における異常スカラー散逸が粒子軌道の自己確率的性質を伴うことを証明している。受動スカラーの場合、壁がない条件下で、自己確率的性質と異常散逸は完全に同等であることが示された。

ABSTRACT

An exact is derived between scalar dissipation due to molecular diffusivity and the randomness of stochastic trajectories for flows without bounding walls. This Lagrangian fluctuation-dissipation relation equates the scalar dissipation for either passive or active scalars to the variance of scalar inputs associated to initial scalar values and internal scalar sources, as those are sampled backward in time by the stochastic trajectories. As an important application, we reconsider the phenomenon of Lagrangian spontaneous or persistent non-determinism of particle trajectories in the limit of vanishing viscosity and diffusivity. Previous work on the Kraichnan (1968) model of turbulent scalar advection has shown that anomalous scalar dissipation is associated in that model to spontaneous stochasticity. There has been controversy, however, regarding the validity of this mechanism for scalars advected by an actual turbulent flow. We here completely resolve this controversy by exploiting the fluctuation-dissipation relation. For either a passive or active scalar advected by any divergence-free velocity field, including solutions of the incompressible Navier-Stokes equation, and away from walls, we prove that anomalous scalar dissipation requires spontaneous stochasticity. For passive scalars we prove furthermore that spontaneous stochasticity yields anomalous dissipation for suitable initial scalar distributions, so that the two phenomena are there completely equivalent. These points are illustrated by numerical results from a database of homogeneous, isotropic turbulence, which provide both additional support to the results and physical insight into the representation of diffusive effects by stochastic particle trajectories.

研究の動機と目的

• 壁のない乱流場におけるスカラー散逸とラグランジュ的軌道統計の間の厳密な関係を確立すること。
• 現実の乱流場における自己確率的性質が異常スカラー散逸を説明できるかどうかという長年の論争を解消すること。
• 受動スカラーに対して、自己確率的性質と異常散逸が同等であることを示すこと。
• 均一かつ等方的乱流の数値シミュレーションを用いて、メカニズムを検証すること。

提案手法

• スカラー散逸を後退方向にサンプリングした初期値および源のスカラー値の分散に関連付ける、正確なフラクチュエーション・ドリフト関係をラグランジュ形式で導出する。
• 発散なしの速度場に従って運ばれる受動的および能動的スカラーにこの関係を適用し、ナビエ＝ストークス方程式の解を含む。
• 確率的粒子軌道を用いて拡散効果を表現し、スカラー入力を時間反転方向にサンプリング可能にする。
• 異常スカラー散逸が、粘性と拡散率がゼロの極限において粒子軌道に自己確率的性質を示す場合にのみ可能であることを証明する。
• 適切な初期条件のもとで、受動スカラーに対して自己確率的性質と異常散逸が同等であることを示す。
• 均一かつ等方的乱流データベースからの数値データを用いて理論を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子軌道の自己確率的性質は、現実の乱流場における異常スカラー散逸を説明できるか？
• RQ2 自己確率的性質による異常散逸のメカニズムは、クライチナンモデルを超えて有効であるか？
• RQ3 ラグランジュ的フラクチュエーション・ドリフト関係を用いて、異常散逸の必要条件を証明できるか？
• RQ4 受動スカラーに対して、自己確率的性質と異常散逸は同等か？
• RQ5 確率的粒子軌道は、乱流スカラー輸送における拡散効果をどのように表現するか？

主な発見

• 壁のない乱流場における異常スカラー散逸は、粘性がゼロの極限において粒子軌道が自己確率的性質を示す場合にのみ可能である。
• 受動スカラーの場合、適切な初期スカラー分布のもとで、自己確率的性質と異常散逸は完全に同等である。
• 導出されたフラクチュエーション・ドリフト関係は、軌道統計の観点から異常散逸の必要十分条件を提供する。
• 均一かつ等方的乱流の数値シミュレーションにより理論的予測が確認され、確率的軌道が拡散効果を捉える役割が明確になった。
• この関係は、受動的および能動的スカラーの両方に対して、任意の発散なしの速度場（非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解を含む）に成立する。
• 結果として、自己確率的性質がクライチナンのモデルのような理想化されたモデルに限らない、現実の乱流場における根本的要件であることが明らかになった。