[論文レビュー] A Lagrangian for Electromagnetic Solitary Waves in Vacuum

Daniele Funaro|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準的なマクスウェル＝ラグラングian枠組みに基づく修正された電磁モデルを導入し、ベクトルポテンシャルに対する制約と、\|\mathbf{V}\| = c を満たす新たな速度場 $\mathbf{V}$ を導入することで、従来のマクスウェル理論では除外されていた、コンパクトな台を持つ孤立波解を可能にする。主な貢献は、ソリトン的電磁波が質量ゼロの粒子のように振る舞い、ローレンツ不変性および保存則を保ちつつ、外部力なしに自己駆動する波パッケージを可能にする一貫したラグラングian形式の確立である。

ABSTRACT

A system of equations, describing the evolution of electromagnetic fields, is introduced and discussed. The model is strictly related to Maxwell's equations. As a matter of fact, the Lagrangian is the same, but the variations are subjected to a suitable constraint. This allows to enlarge the space of solutions, including for example solitary waves with compact support. In this way, without altering the physics, one is able to deal with vector waves as they were massless particles. The main properties of the model, together with numerous exact explicit solutions are presented.

研究の動機と目的

• 古典的電磁気学の解空間を、標準的なマクスウェル方程式を超えて、コンパクトサポートを持つ孤立波を含むように拡張すること。
• ゲージ不変性や保存則に反しない形で、非ゼロの電荷密度 $\rho = \text{div}\,\mathbf{E}$ を許容する標準電磁ラグラングianとの物理的整合性を維持すること。
• 標準ラグラングianの変分に制約を課すことで、恣意的な修正を避ける、変分的定式化を提供すること。
• 電磁ソリトンが速度 $c$ で摂動を受けずに進行可能であり、質量ゼロの粒子のように振る舞い、内部で非ゼロの電荷密度 $\rho \neq 0$ を持つが、全フラックスがゼロであることを示すこと。
• 相対論的不変性および流体的力学と整合する枠組みを確立し、速度場 $\mathbf{V}$ を介して電磁波と古典力学を結びつけること。

提案手法

• 速度 $\|\mathbf{V}\| = c$ を満たす新たな速度場 $\mathbf{V}$ を導入し、これが伝搬方向を定義し、標準マクスウェル方程式に制約を課すことで修正すること。
• 電磁ポテンシャルに $c\mathbf{A} = \Phi\mathbf{V}$ という制約を課すことで、$\mathbf{E} + \mathbf{V} \times \mathbf{B} = 0$ を満たし、非ゼロの $\rho = \text{div}\,\mathbf{E}$ を可能にする。
• 標準電磁ラグラングian $\mathcal{L} = \|\mathbf{E}\|^2 - c^2\|\mathbf{B}\|^2$ の静的点として、方程式 (1.1)–(1.3) を導出するが、自由度を削減する制約付き変分を用いる。
• 保存則、特に連続の方程式 $\partial_t \rho = -\text{div}(\rho\mathbf{V})$ を構成上保証することで、物理的整合性を確保する。
• 系がローレンツ変換に対して不変であり、共変形式として書けることを示し、電磁のストレステンソルと関連付ける。
• 流体力学を統合するため、$\mathbf{V}$ に対するオイラー型方程式（電磁的力の作用付き）を導入し、相対論的および圧縮性拡張を可能にする拡張ラグラングian（5.2）を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトサポートを持つ孤立電磁波が、一貫した古典的場理論の枠組み内で真空中に存在しうるか？
• RQ2 ゲージ不変性や保存則に反しない形で、標準電磁ラグラングianに制約を課すことで、ソリトン的解を可能にする方法は何か？
• RQ3 閉じた表面を囲む全フラックスがゼロのままである場合、真空中で非ゼロの $\rho = \text{div}\,\mathbf{E}$ が物理的にどのように解釈されるか？
• RQ4 速度 $\|\mathbf{V}\| = c$ を満たす速度場 $\mathbf{V}$ の導入が、電磁場の力学的構造および保存則にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このモデルは、光子のように自己駆動し、安定で摂動を受けない波パッケージを支持できるか？ また、古典的電磁気学と整合的であるか？

主な発見

• モデルは、コンパクトサポートを持つ孤立波の正確な明示的解を許容するが、非ゼロの $\rho$ のため、従来のマクスウェル方程式の解ではない。
• 波の内部で $\rho \neq 0$ であっても、全フラックス $\int_{\partial\Omega} \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0$ であるため、ソリトンはネットで電荷を帯びず、放射を発しない。
• 波パッケージは $\mathbf{V}$ に沿って速度 $c$ で進行し、$\|\mathbf{V}\| = c$ を満たす。ローレンツ力は作用せず、$\mathbf{E} + \mathbf{V} \times \mathbf{B} = 0$ が成り立つ。
• 連続の方程式 $\partial_t \rho = -\text{div}(\rho\mathbf{V})$ が保存則として構成上保たれ、有効電荷密度の保存が保証される。
• モデルはローレンツ変換に対して不変であり、共変形式として書けるため、特殊相対性理論と整合的である。
• 流体力学と圧力を組み込んだ拡張ラグラングian（5.2）により、一般化が可能であり、$\mathbf{V}$ に対するオイラー型方程式（5.1）が導入されており、電磁波と力学的波動の統一的記述が示唆されている。