[論文レビュー] A Landscape of Hamiltonian Phase Spaces: on the foundations and generalizations of one of the most powerful ideas of modern science

Carlos Zapata-Carratalá|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 77被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヤコビ多様体と接触多様体をポisson構造およびシンプレクティック構造の次元付き類似物として再解釈することで、物理的次元をラインバンドルと次元付き代数を介して形式主義に直接埋め込む、次元フリーの幾何的枠組みを導入する。主な貢献は、次元フリーな構成空間（ラインバンドル）から接触位相空間へ写像するハミルトニアン関手を用いたホモトピー的定式化であり、次元的に一貫した運動論を自然に実現する。

ABSTRACT

In this thesis we revise the concept of phase space in modern physics and devise a way to explicitly incorporate physical dimension into geometric mechanics. A historical account of metrology and phase space is given to illustrate the disconnect between the theoretical physical models in use today and the formal treatment of units of measurement. Self-contained presentations of local Lie algebras, Lie algebroids, Poisson manifolds, line bundles and Jacobi manifolds are given. A unit-free manifold is defined as a generic line bundle over a smooth manifold that we interpret as a manifold whose ring of functions no longer has a preferred choice of a unit. This point of view allows us to implement physical dimension into geometric mechanics. Unit-free manifolds are shown to share many of the core structure of the category of ordinary smooth manifolds: Cartesian products, derivations as tangent vectors, jets as cotangent vectors, submanifolds and quotients. This allows to reinterpret the notion of Jacobi manifold as the unit-free analogue of Poisson manifolds. With this new language we rediscover known results about Jacobi maps, coisotropic submanifolds, Jacobi products and Jacobi reduction. We give a categorical formulation of the loose term 'canonical Hamiltonian mechanics' by defining the notions of theory of phase spaces and Hamiltonian functor. Conventional configuration spaces are then replaced by line bundles, called unit-free configuration spaces, and, they are shown to fit into a theory of phase spaces with a Hamiltonian functor given by the jet functor. Motivated by the algebraic structure of physical quantities in dimensional analysis, we define dimensioned groups, rings, modules and algebras by implementing an addition operation that is partially defined. Jacobi manfolds are shown to have associated dimensioned Poisson algebras and dimensioned coisotropic calculus.

研究の動機と目的

• 理論的力学と次元解析における物理的単位の実用的使用との間の基礎的断絶を解消すること。
• 位相空間の形式主義に物理的次元を内蔵する幾何的枠組みを構築し、単位を外部の注釈として扱うのではなく、本質的に統合すること。
• 次元フリーな構成空間とハミルトニアン関手を用いて、標準的ハミルトニアン力学を再定式化すること。
• 次元付き環と代数を導入することで、部分的に定義された加法を伴う物理的量のためのカテゴリカルかつ代数的基盤を提供すること。
• ヤコビ幾何をポアンカレ幾何の次元フリーな類似物として確立し、次元付き観測量を含むハミルトニアン力学を一般化すること。

提案手法

• 滑らかな多様体上の一般ラインバンドルとしての次元フリー多様体の概念を導入し、関数環に特定の単位が存在しないこととする。
• 次元フリー多様体のための完全な幾何的微積分を構築し、直積、接続および余接構造（導分とジャンプを介して）、群作用による商を含む。
• 次元フリーな構成空間（ラインバンドル）から接触多様体へ写像するハミルトニアン関手を定義し、従来の力学における余接バンドル関手を一般化する。
• 同様の次元を持つ量の間でのみ加法が許可されるように、部分的に定義された加法を伴う次元付き代数を構築し、次元付きポアソン代数を代数的基盤として定義する。
• 次元付きポアソン代数の次数−1のケースとして自然に生じることを示すことにより、ヤコビ多様体をポアソン多様体の次元フリーな類似物として再解釈する。
• ラインバンドル上のポテンシャル関手を用いて、次元付きポアソン構造とヤコビ構造の間の対応関係を確立し、新たな幾何的洞察を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部の単位に依存せずに、位相空間の幾何的構造に物理的次元を形式的に埋め込むことは可能か？
• RQ2 シンプレクティックおよびポアソン幾何の次元フリーな一般化は、次元解析を自然に組み込むものか？
• RQ3 標準的ハミルトニアン形式主義は、物理的次元を尊重するカテゴリカルな枠組みに再定式化可能か？
• RQ4 次元付き代数の形式主義内において、ヤコビ多様体は自然にポアソン多様体の次元付き類似物として出現するか？
• RQ5 物理系の運動は、古典的力学の運動的構造を保ちつつ、次元フリーな幾何的設定で一貫して定式化可能か？

主な発見

• 特定の単位が存在しないラインバンドルとして定義される次元フリー多様体は、次元付き力学における構成空間の自然な幾何的設定を提供する。
• 次元フリーな構成空間のジャンプバンドルは自然に接触構造を備え、接触ハミルトニアン力学の標準的定式化を可能にする。
• ヤコビ多様体が次数−1の次元付きポアソン代数と同型であることが示され、ポアソン多様体の次元フリーな類似物としての位置づけが確立される。
• ハミルトニアン関手は次元フリーな構成空間（ラインバンドル）を接触位相空間へ写像し、従来の力学における余接バンドル関手を一般化する。
• 部分的に定義された加法を伴う次元付き代数は物理的量の厳密な代数的モデルを提供し、次元付きポアソン代数はヤコビ構造を特別なケースとして回復する。
• この形式主義は、単一のラインバンドルを超えたラインバンドルの集合への次元付きポアソン代数という、ヤコビ幾何を一般化する可能性を秘めた新たな幾何的構造を示唆する。