[論文レビュー] A large deviation approach to some transportation cost inequalities

Nathaël Gozlan, C. Léonard|ArXiv.org|Oct 27, 2005

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、大偏差原理を用いて新たな輸送コスト不等式を確立し、BobkovとGötzeの研究を拡張する双対的特徴付けを提示する。参考測度の積分可能性を用いた必要十分条件を導出し、テンソル化および凸共役解析を用いて、経験過程における鋭い測度集中および偏差結果を導く。

ABSTRACT

New transportation cost inequalities are derived by means of elementary large deviation reasonings. Their dual characterization is proved; this provides an extension of a well-known result of S. Bobkov and F. Götze. Their tensorization properties are investigated. Sufficient conditions (and necessary conditions too) for these inequalities are stated in terms of the integrability of the reference measure. Applying these results leads to new deviation results: concentration of measure and deviations of empirical processes.

研究の動機と目的

• 初等的な大偏差推論を用いて新たな輸送コスト不等式を導出すること。
• BobkovとGötzeの双対的特徴付けをより広いクラスの不等式へ拡張すること。
• 導出された不等式の積測度および経験測度におけるテンソル化性質を調査すること。
• 参考測度の積分可能性を用いた不等式を満たすための十分かつ必要条件を確立すること。
• 結果を応用し、経験過程における鋭い測度集中および偏差バウンドを導出すること。

提案手法

• 著者たちは、縮小原理および指数的傾き変換を用いて、大偏差原理から輸送コスト不等式を導出する。
• リプシッツ関数の対数モーメント生成関数を用いて、不等式の双対的特徴付けを確立する。
• この手法には、特に積率生成関数の単調共役を用いた凸共役解析が含まれる。
• 積測度の積率生成関数を分析し、劣加法性および凸性の議論を適用することで、テンソル化を達成する。
• 最適輸送関数を特徴付けるために、凸・増加・下半連続関数のクラスを用いる。
• 変分表現および凸双対性を介した、偏差関数と輸送コストの相互作用に依拠した証明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大偏差技法をどのように用いて新たな輸送コスト不等式を導出できるか？
• RQ2 これらの不等式の双対的特徴付けとは何か？ そして、BobkovとGötzeの結果をどのように拡張するか？
• RQ3 測度がこのような不等式を満たすための必要十分条件は、積分可能性の観点からどのように記述できるか？
• RQ4 これらの不等式は、積測度および経験過程においてどのように振る舞うか？
• RQ5 これらの不等式から導かれる経験過程の最適偏差関数は何か？

主な発見

• 本稿は、測度が $ T_p(C) $ 不等式を満たすための必要十分条件として、有界リプシッツ関数の対数モーメント生成関数が $ Cs^2/2 $ で有界であることを示し、BobkovとGötzeの双対的特徴付けを拡張する。
• $ T_1(C) $ の十分かつ必要条件は、ある $ a_0 > 0 $ に対して $ \exp(a_0 d(x_0,x)^2) $ の積分可能性として与えられ、ガウス型集中を特徴付ける。
• 不等式のテンソル化により、各周辺測度が $ T_1(C_i) $ を満たすならば、積測度は $ T_1(\sum C_i) $ を満たし、$ T_2 $ の場合、積測度は $ T_2(\max C_i) $ を満たすことが示される。
• 経験過程において、偏差レート関数が個々の成分の偏差関数の下界の下限以上に有界であることが示され、適切な条件下では極限で等号が成り立つ。
• クラス $ \mathcal{C} $ 内の最適輸送関数は、テスト関数のクラス上で積率生成関数の上界の凸共役として特定される。
• $ \Lambda_{\Phi}^{\circledast} $ は、偏差関数 $ J_\Phi $ の凸下方向連続正則化であり、連続性の仮定の下で、クラス $ \mathcal{C} $ 内で最良の偏差関数であることが示される。