[論文レビュー] A large deviation principle for empirical measures on Polish spaces: Application to singular Gibbs measures on manifolds

David García Zelada|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Morphological variations and asymmetry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般のポーランド空間上のギブズ点過程の経験測度に関する大偏差原理（LDP）を、非正規化ギブズ測度の一般化されたラプラース原理を用いて確立する。この枠組みを特異なギブズ測度、コンパクトなリーマン多様体上のクーロンガス、およびユークリッド空間系に適用し、ラプラース原理の決定的γ収束版を証明することで、特異系に対する統一的で自然なアプローチを提供する。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle for a sequence of point processes defined by Gibbs probability measures on a Polish space. This is obtained as a consequence of a more general Laplace principle for the non-normalized Gibbs measures. We consider three main applications: Conditional Gibbs measures on compact spaces, Coulomb gases on compact Riemannian manifolds and the usual Gibbs measures in the Euclidean space. Finally, we study the generalization of Fekete points and prove a deterministic version of the Laplace principle known as $\Gamma$-convergence. The approach is partly inspired by the works of Dupuis and co-authors. It is remarkably natural and general compared to the usual strategies for singular Gibbs measures.

研究の動機と目的

• 一般のポーランド空間上でのギブズ点過程の経験測度に関する大偏差原理を確立すること。
• 非正規化ギブズ測度へのラプラース原理のアプローチを拡張し、特異的・複雑系の解析を可能にすること。
• コンパクト空間上の条件付きギブズ測度、リーマン多様体上のクーロンガス、およびユークリッド空間における標準ギブズ測度にこの枠組みを適用すること。
• フェケテ点の一般化として、ラプラース原理の決定的γ収束版を証明すること。
• 特異ギブズ測度の解析を、従来の手法の制限を乗り越えて、統一的で自然な枠組みで行うこと。

提案手法

• ポーランド空間上での非正規化ギブズ測度に対する一般化ラプラース原理を導出し、LDPの基礎を築く。
• 弱収束と変分的手法を活用して、ラプラース原理を応用し、経験測度に関する大偏差原理を導出する。
• 3つの主要なケースを分析する枠組みを用いる：コンパクト空間上の条件付きギブズ測度、コンパクトなリーマン多様体上のクーロンガス、およびユークリッド空間における標準ギブズ測度。
• ラプラース原理の決定的γ収束版を導入し、フェケテ点配置の一般化を実現する。
• ドゥピュアおよび共同研究者らの手法にインspiredされ、特異的・滑らかでない相互作用ポテンシャルに適応する。
• 関数解析的道具と測度の弱収束を用いて、ギブズ系の特異性を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のポーランド空間上でのギブズ点過程の経験測度に関する大偏差原理を確立できるか？
• RQ2 特異系の解析を可能にするために、非正規化ギブズ測度へのラプラース原理をどのように拡張できるか？
• RQ3 この枠組み下で、コンパクトなリーマン多様体上のクーロンガスの挙動はいかなるものか？
• RQ4 ラプラース原理の決定的γ収束版は、一般化フェケテ点とどのように関係するか？
• RQ5 このアプローチは、異なる幾何的・位相的設定において特異ギブズ測度の解析を統一的に可能にするか？

主な発見

• 非正規化測度の一般化ラプラース原理を用いて、ポーランド空間上でのギブズ点過程の経験測度に関する大偏差原理が厳密に確立された。
• この枠組みは、コンパクト空間上の条件付きギブズ測度、コンパクトなリーマン多様体上のクーロンガス、およびユークリッド空間における標準ギブズ測度に成功裏に適用された。
• フェケテ点配置の一般化として、ラプラース原理の決定的γ収束版が証明され、特異系にまで拡張された。
• 従来の手法に比べて制限が少なく、滑らかでないまたは長距離相互作用を有する特異ギブズ測度に対して特に効果的な自然で包括的な代替手法を提供する。
• 結果は、多様な幾何的設定において、複雑で特異な系を扱う際のラプラース原理アプローチの強靭性を示している。
• 相互作用ポテンシャルに制限的な仮定を課さず、特異的または特異的と類似した挙動を示す系の解析が可能になった。