[論文レビュー] A Large Deviation Principle for Gibbs States on Markov Shifts at Zero Temperature

Rodrigo Bissacot, Jairo K. Mengue+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可算マルコフシフト上のギブズ測度のゼロ温度における大偏差原理（LDP）を確立し、従来の有限アルファベットからの一般化を達成している。ウォルタース条件および最大化測度の一意性のもとで、βf に関連する平衡測度 μ_β の族が、補正されたサブアクション V を用いて定義される偏差関数 I(x) による LDP を満たすことを証明しており、ゼロ温度極限と最大化測度、サブアクションとの関連を示している。

ABSTRACT

Let $Σ_{A}(\mathbb{N})$ be a topologically mixing countable Markov shift with the BIP property over the alphabet $\mathbb{N}$ and $f: Σ_{A}(\mathbb{N}) ightarrow \mathbb{R}$ a potential satisfying the Walters condition with finite Gurevich pressure. Under suitable hypotheses, we prove the existence of a Large Deviation Principle for the family $(μ_β)_{β> 0}$ where each $μ_β$ is the Gibbs measure associated to the potential $βf$. Our main theorem generalizes from finite to countable alphabets and also to a larger class of potentials a previous result of A. Baraviera, A. O. Lopes and P. Thieullen.

研究の動機と目的

• 有限から可算マルコフシフトへのギブズ測度の大偏差原理（LDP）の拡張。
• 位相的混合性および BIP を満たす可算マルコフシフト上でウォルタース条件を満たすポテンシャルに対する LDP の確立。
• 非コンパクトな設定に適用可能な、インボリューションカーネルの使用を避ける新しい LDP 証明戦略の提供。
• 一意性の仮定の下で、ゼロ温度極限に関する結果の一般化、特に最大化測度およびサブアクションの存在。
• 偏差関数 I(x) の構造を、補正されたサブアクションの観点から明らかにし、ゼロ作用の周期的点の集合との関係を明確にすること。

提案手法

• ポテンシャル f に対して有界な補正されたサブアクション V の存在に依拠し、ルエール作用素の正規化固有関数の極限として構成される。
• 偏差関数 I(x) は I(x) = -\sum_{j=0}^{\infty} (f + V - V \circ \sigma - \mu(f))(\sigma^j(x)) として定義され、LDP とシフトの力学およびサブアクションとの関連を示している。
• BIP 性質および位相的混合性を用いて、βf に対する平衡測度 μ_β の存在および一意性を保証する。
• ゲレヴィッチ圧力および可 summable 変動を含む熱力学的形式主義の技術を用い、相関の崩壊を制御し収束を保証する。
• インボリューションカーネルを避けるために、シリンダ集合 C に対して \frac{1}{\beta}\log \mu_\beta(C) の漸近的挙動を直接分析する。
• 鍵となるステップは、I(x) = 0 がかつてのみ S_f(x,x) = 0、すなわち x が Birkhoff 和の最大値を達成する周期的点の集合に属するときであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算マルコフシフト上のギブズ測度がゼロ温度において大偏差原理を満たすか？
• RQ2 特に非コンパクトな設定において、インボリューションカーネルに依存せずに LDP を確立できるか？
• RQ3 偏差関数 I(x) はシフトの力学および最大化測度の構造とどのように関連しているか？
• RQ4 最大化測度の一意性を保証する条件は何か？ そしてこれは LDP にどのように影響するか？
• RQ5 BIP 性質を越えて、リニューアルシフトのような系へ LDP を拡張できるか？

主な発見

• 平衡測度の族 (\mu_\beta)_{\beta>0} は、V が有界な補正されたサブアクションであるとき、偏差関数 I(x) = -\sum_{j=0}^{\infty} (f + V - V \circ \sigma - \mu(f))(\sigma^j(x)) を持つ LDP を満たす。
• 一意な最大化測度の仮定のもとで、偏差関数 I(x) は適切に定義され、かつ有限であることが保証され、LDP の有効性が保証される。
• I(x) = 0 がかつてのみ S_f(x,x) = 0、すなわち x が Birkhoff 和の最大値を達成する周期的点の集合に属するときであることが証明された。
• LDP は従来の有限アルファベットからの一般化を達成し、非コンパクト系への理論の適用範囲を拡張した。
• インボリューションカーネルの使用を避ける戦略により、非コンパクトな設定における LDP への新たな道筋を提供した。
• ポテンシャルが強制的かつ局所 Hölder 条件を満たす場合、リニューアルシフトへも結果を拡張でき、相転移が発生しないことから、このような場合にも LDP が成立すると示唆された。