[論文レビュー] A Large Scale Comparison of Tetrahedral and Hexahedral Elements for Finite Element Analysis

Teseo Schneider, Yixin Hu+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 90被引用数 9

ひとこと要約

本研究では、大規模な3次元幾何形状のベンチマークにおいて、最新のメッシュ生成ツールを用いて非構造化四面体メッシュと構造化六面体メッシュを生成し、四面体要素と六面体要素を比較した。結果として、2次四面体要素が楕円型PDEを解く際に一貫して六面体要素を上回ることを明らかにした。これは、一般的な工学的問題において自動的な六面体メッシュ生成がしばしば不要である可能性を示唆している。

ABSTRACT

The Finite Element Method (FEM) is widely used to solve discrete Partial Differential Equations (PDEs) in engineering applications. The popularity of FEM led to the development of a large family of variants, and, while their theoretical properties (such as convergence rate, stability, etc.) are understood well, their practical performance have not been systematically studied for large collections of automatically meshed 3D geometry. We introduce a set of benchmark problems, starting from simple cases with an analytical solution, moving to commonly used test problem setups, and finally fabricating solutions for thousands of real-world, automatically meshed geometries. For all these cases, we use state-of-the-art meshing tools to create both unstructured (tetrahedral) and structured (hexahedral) meshes, and compare the performance of different element types for a wide spectrum of elliptic PDEs ranging from heat diffusion to fluid propagation. We observe that, while linear tetrahedral elements perform poorly, often leading to locking artefacts, quadratic tetrahedral elements outperform hexahedral elements in all settings we tested. This observation suggests that for most problems in static structural analysis, thermal analysis, and low reynolds number flows, it is unnecessary to target automatic hex mesh generation, since high-quality results can be obtained with unstructured meshes, which can be created robustly and automatically with existing meshing algorithms. We released the description of the benchmark problems, meshes, and reference implementation of our testing infrastructure. This enables statistically significant comparisons between different FE methods, which we believe will provide a guide in the development of new meshing and FEA techniques.

研究の動機と目的

• 多様な3次元幾何形状において、四面体要素と六面体要素の実用的性能を体系的に評価すること。
• 自動メッシュ生成が行われた現実世界の問題において、六面体要素が四面体要素に有意義な利点を提供するかを評価すること。
• 現実的で自動生成されたメッシュを用いたFEM手法を比較する統計的に有意なベンチマークを確立すること。
• 公開された包括的なテストインfraストラクチャを通じて、今後のメッシュ生成およびFEA技術の開発を支援すること。

提案手法

• 本研究では、解析的解から数千もの現実世界の自動メッシュ生成された3次元幾何形状までをカバーするベンチマークスイートを構築した。
• 各幾何形状に対して、最新のメッシュ生成ツールを用いて非構造化四面体メッシュと構造化六面体メッシュを生成した。
• 熱拡散、構造力学、低レイノルズ数の流れをカバーする広範な楕円型PDEを、両要素タイプを用いて解いた。
• すべてのテストケースにおいて、線形および2次四面体要素と六面体要素の性能を比較した。
• テストインfraストラクチャおよびすべてのベンチマークデータ（メッシュと参照解を含む）を公開し、再現性およびさらなる比較を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動メッシュ生成が行われた現実的で3次元的な問題において、六面体要素は四面体要素よりも優れた精度を示すか？
• RQ2 多様なPDEおよび幾何形状において、線形および2次四面体要素は六面体要素に対してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 自動六面体メッシュ生成の計算コストと複雑さは、実世界の工学的シミュレーションにおける性能向上によって正当化されるか？
• RQ4 2次四面体要素は、静的構造的・熱的・流れ解析において一貫して六面体要素を上回る性能を示すか？

主な発見

• 線形四面体要素は顕著なロックインアーチファクトを示し、多くのテストケースで劣った性能を示した。
• 2次四面体要素は、構造的解析、熱的解析、低レイノルズ数の流れシミュレーションを含む、すべてのテスト設定で六面体要素を上回った。
• 2次四面体要素と六面体要素の性能差は、ベンチマークスイート全体にわたり一貫しており、2次四面体要素に明確な優位性があることが示された。
• 結果から、非構造化四面体メッシュを用いることで、高品質なシミュレーション結果を信頼性高く得られることを示唆している。このメッシュは、自動生成がより簡単かつ頑丈である。