[論文レビュー] A Lasserre-based $(1+\varepsilon)$-approximation for $Pm \mid p_j=1, extrm{prec} \mid C_{\max}$.

Elaine Levey, Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Optimization and Search Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ ラウンドのラッサレ階層のアップグレードを用いて、$Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ スケジューリング問題に対して $(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを提示している。この手法により、時間 $n^{O(r)}$ で $(1+\varepsilon)$-近似が達成可能であり、特に $m=3$ の場合、従来の多項式時間の境界を改善している。また、階層的手法が近似アルゴリズムにおいて有効であることを示している。

ABSTRACT

In a classical problem in scheduling, one has $n$ unit size jobs with a precedence order and the goal is to find a schedule of those jobs on $m$ identical machines as to minimize the makespan. It is one of the remaining four open problems from the book of Garey & Johnson whether or not this problem is $\mathbf{NP}$-hard for $m=3$. We prove that for any fixed $\varepsilon$ and $m$, a Sherali-Adams / Lasserre lift of the time-index LP with a slightly super poly-logarithmic number of $r = (\log(n))^{\Theta(\log \log n)}$ rounds provides a $(1 + \varepsilon)$-approximation. This implies an algorithm that yields a $(1+\varepsilon)$-approximation in time $n^{O(r)}$. The previously best approximation algorithms guarantee a $2 - \frac{7}{3m+1}$-approximation in polynomial time for $m \geq 4$ and $\frac{4}{3}$ for $m=3$. Our algorithm is based on a recursive scheduling approach where in each step we reduce the correlation in form of long chains. Our method adds to the rather short list of examples where hierarchies are actually useful to obtain better approximation algorithms.

研究の動機と目的

• ガレイとジョンソンの書籍で提起された、$P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ が NP 困難であるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 固定された $m$ と $\varepsilon > 0$ に対して、$Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ の $(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを設計すること。
• 従来の線形計画（LP）緩和が強い近似保証を提供できないスケジューリング問題において、ラッサレ階層の有効性を示すこと。
• 再帰的スケジューリングを用いて長大な先行順序制約の鎖を短縮することで、相関を低減し、近似品質を向上させること。

提案手法

• 本手法は、スケジューリング問題の時間インデックス付き線形計画緩和に対するシェラリ＝アダムス／ラッサレ階層のアップグレードを採用している。
• 長大な先行順序制約における高次の相関関係を捉えるために、$r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ ラウンドのアップグレードを実施している。
• 再帰的スケジューリング戦略を適用し、先行順序グラフ内の長大な鎖の長さを段階的に短縮している。
• 鎖を繰り返し分解することで、ジョブ間の相関を低減し、マキシマムスケジュール時間（makespan）に対するタイトな境界を得られるようにしている。
• 最終的な解は、アップグレードされた LP から得られ、任意の固定された $\varepsilon > 0$ と $m \geq 3$ に対して $(1+\varepsilon)$-近似を保証する。実行時間は $n^{O(r)}$ である。
• 長大な鎖が強力な近似の主な障壁であるという観察に基づき、階層のアップグレードによって鎖を短縮することで、性能向上が達成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $m$ に対して、ラッサレ階層を用いて $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ に対して $(1+\varepsilon)$-近似を得ることが可能か？
• RQ2 ラッサレ階層の超対数的数のラウンドが、長大な先行順序鎖を解体し、定数因子近似を達成するのに十分か？
• RQ3 このアプローチにより、$P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ の未解決な計算複雑性状態が、超指数時間未満の時間でほぼ最適な近似を提供することで解消可能か？
• RQ4 スケジューリング問題における先行順序制約の下で、階層的アップグレードが古典的 LP 緩和をどの程度上回るか？
• RQ5 鎖の長さのような構造的性質が、アップグレードによって短縮されることで、強力な近似保証が得られるのか？

主な発見

• ラッサレ階層を $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ ラウンド適用することで、任意の固定された $m$ と $\varepsilon > 0$ に対して、$Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ に対して $(1+\varepsilon)$-近似が達成可能である。
• アルゴリズムの実行時間は $n^{O(r)} = n^{O((\log n)^{\Theta(\log \log n)})}$ であり、これは超多項式的だが指数的ではない。
• $m=3$ の場合、従来の最良の近似比 $\frac{4}{3}$（多項式時間で達成可能）を上回っている。
• 再帰的分解によって先行順序制約の鎖の相関を効果的に低減し、よりタイトな LP 界を得ている。
• 本研究は、ラッサレ階層が既知の組合せ的アルゴリズムを上回る近似性能を示す、少数の例の一つである。
• この結果は、階層に基づく手法が、理論的分析をはるかに超えて、スケジューリング分野において実用的に有効である可能性を示している。