[論文レビュー] A lecture note on scale invariance vs conformal invariance

Yu Nakayama|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

この講義ノートは、4次元相対論的量子場の理論におけるスケール不変性と共形不変性の違いを調査する。ユニタリティ、ポincare不変性、離散的スケーリングスペクトル、スケールカレントの存在、および破れたスケール対称性の下で、スケール不変だが共形でない理論の既知の例は存在しない—これは摂動的c定理の議論とホログラフィー的証拠によって裏付けられ、この設定では両者の等価性を示唆している。

ABSTRACT

In this lecture note, we discuss the distinction and possible equivalence between scale invariance and conformal invariance in relativistic quantum field theories. As of January 2013, our consensus is that there is no known example of scale invariant but non-conformal field theories in d=4 under the assumptions of (1) unitarity, (2) Poincare invariance (causality), (3) discrete spectrum in scaling dimension, (4) existence of scale current and (5) unbroken scale invariance. We have a perturbative proof based on the higher dimensional analogue of Zamolodchikov's c-theorem, but the non-perturbative proof is yet to come. We give a complementary holographic argument to support the claim. We also try to make this lecture note a good reference for examples of scale invariance without conformal invariance. We have tried to collect as many interesting examples as possible.

研究の動機と目的

• 相対論的量子場の理論におけるスケール不変性と共形不変性の概念的・物理的差異を明確化すること。
• 標準的な物理的仮定の下で、4次元量子場の理論においてスケール不変性が共形不変性を意味するかどうかを調査すること。
• スケール不変だが共形でない場の理論の既知の例を収集・分析すること（存在する場合）。
• d=4におけるスケール不変性と共形不変性の潜在的等価性を支持する理論的例と議論を包括的に提供すること。
• 摂動的およびホログラフィックな証拠を提示し、与えられた条件下でスケール不変性が共形不変性を意味する可能性を示唆すること。

提案手法

• Zamolodchikovのc定理の高次元版を用いて、d=4におけるスケール不変性と共形不変性の等価性を摂動論的に主張する。
• ホログラフィー双対性の技術を適用し、AdS/CFT対応の文脈でスケール不変性が共形不変性を意味することを支持する。
• エネルギー運動量テンソルの構造とスケールカレントの存在を分析し、量子場の理論におけるスケール対称性の整合性を評価する。
• 離散的スペクトルの仮定の下でのスケーリング次元のスペクトルを検討し、c定理の適用可能性にとって不可欠である。
• スケール不変だが共形でない場の理論の候補例をレビュー・分類し、5つの物理的仮定との整合性を評価する。
• ユニタリティ、ポincare不変性（因果律）、および破れていないスケール対称性を含む、量子場の理論の標準的公理に依拠し、反例の可能性を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリティおよびポincare不変性の仮定の下で、4次元相対論的量子場の理論においてスケール不変性は共形不変性を意味するか？
• RQ2 スケーリング次元の離散的スペクトルを有するd=4におけるユニタリでスケール不変だが共形でない量子場の理論の既知の例はあるか？
• RQ3 Zamolodchikovのc定理の高次元一般化は、摂動論的枠組みでスケール不変性と共形不変性の等価性をどのように支持するか？
• RQ4 ホログラフィーは、スケール不変性と共形不変性の等価性に対する非摂動的証拠をどのように提供するか？
• RQ5 スケールカレントの存在と破れていないスケール対称性は、d=4における非共形的スケール不変場の理論の存在を排除できるか？

主な発見

• 指定された5つの仮定の下で、4次元においてユニタリでスケール不変だが共形でない量子場の理論の既知の例は存在しない。
• Zamolodchikovのc定理の高次元版を用いた摂動的証明により、スケール不変性と共形不変性の等価性が示されている。
• ホログラフィックな議論は、d=4におけるスケール不変性が共形不変性を意味することを補足的に非摂動論的に支持する。
• スケーリング次元の離散的スペクトルの仮定は、c定理の適用可能性および議論の整合性にとって不可欠である。
• スケールカレントの存在と破れていないスケール対称性は、非共形的スケール不変理論の可能性を制限する重要な条件である。
• 本稿は、さまざまな理論的例を収集・評価し、与えられた物理的制約の下でこのような反例が存在しないというコンSENSUSを強化している。