[論文レビュー] A lecture on Kac--Moody Lie algebras of the arithmetic type

Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Dec 6, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、可換化可能な双曲的 Kac–Moody代数の一般化として、双曲空間内の算術的反射群と関連付けることにより、算術的タイプの Kac–Moody Lie代数を導入し、分類する。このタイプの一般化 Cartan 行列は、有限、アフィン、ランク2、算術的双曲的の4つのカテゴリーに分類され、反射的整数対称双線形形式を用いてそれらの完全分類がなされ、有限個の系列しか存在しないことが示され、対称の場合の完全分類が得られている。

ABSTRACT

We name an indecomposable symmetrizable generalized Cartan matrix $A$ and the corresponding Kac--Moody Lie algebra ${\goth g} ^\prime (A)$ {\it of the arithmetic type} if for any $β\in Q$ with $(β| β)<0$ there exist $n(β)\in {\Bbb N}$ and an imaginary root $α\in Δ^{im}$ such that $n(β)β\equiv α\mod Ker\ (.|.)$ on $Q$. Here $Q$ is the root lattice. This generalizes "symmetrizable hyperbolic" type of Kac and Moody. We show that generalized Cartan matrices of the arithmetic type are divided in $4$ types: (a) finite, (b) affine, (c) rank two, and (d) arithmetic hyperbolic type. The last type is very closely related with arithmetic groups generated by reflections in hyperbolic spaces with the field of definition $\Bbb Q$. We apply results of the author and É.B. Vinberg on arithmetic groups generated by reflections in hyperbolic spaces to describe generalized Cartan matrices of the arithmetic hyperbolic type and to show that there exists a finite set of series of the generalized Cartan matrices of the arithmetic hyperbolic type. For the symmetric case all these series are known.

研究の動機と目的

• 算術的タイプの Kac–Moody Lie代数を定義し、特徴づけること。これは、可換化可能な双曲的タイプの一般化である。
• このタイプの一般化 Cartan 行列を、有限、アフィン、ランク2、算術的双曲的の4つの明確なクラスに分類すること。
• このような代数と、有理数体を定義体とする双曲空間内の算術的反射群との間の対応関係を確立すること。
• 算術的双曲的タイプの一般化 Cartan 行列が、反射的原始的双曲的整数対称双線形形式の有限集合の系列から生じることを証明すること。
• 2-反射的形式と既知の分類結果を用いて、算術的双曲的タイプの対称一般化 Cartan 行列の完全な記述を提供すること。

提案手法

• 算術的タイプの条件を導入する：任意の負ノルムの根 β に対して、ある倍数 n(β)β が Ker(·|·) を法として虚根 α に合同である。
• 対称化可能な一般化 Cartan 行列 A から導かれる根格子 Q 上の標準的対称双線形形式 (·|·) を用いる。
• Nikulin および Vinberg の双曲空間内における算術的反射群に関する結果を応用し、反射的整数対称双線形形式 S を分類する。
• 反射的形式 S、O(S) の有限指数反射部分群 W̃ ⊂ O(S)、および整数性と生成条件を満たす関数 λ: P(M)pr → ℕ を用いて、一般化 Cartan 行列 A(S, W̃, λ) を構成する。
• このような代数と不変量 (S, W̃, λ) の間の標準的対応を確立し、すべてのこのような代数がこの構成から生じることを示す。
• 2-反射的条件（[O(S):W(2)(S)] < ∞）を用いて、対称の場合を完全に分類し、ランク19まで既知のこのような形式の分類結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的タイプの Kac–Moody Lie代数を定義づける条件は何か。これは、可換化可能な双曲的ケースをどのように一般化するか。
• RQ2 算術的双曲的タイプの一般化 Cartan 行列はどのように分類可能か。それらが帰属する構造的タイプは何か。
• RQ3 このような Kac–Moody代数と、有理数体を定義体とする双曲空間内における算術的反射群との関係は何か。
• RQ4 算術的双曲的タイプの一般化 Cartan 行列の系列は有限個しか存在しないのか。それらは反射的形式から明示的に構成可能か。
• RQ5 算術的双曲的タイプの対称一般化 Cartan 行列の完全分類は何か。これは 2-反射的形式とどのように関係するか。

主な発見

• 算術的タイプの一般化 Cartan 行列は、4つのタイプに分けられる：有限、アフィン、ランク2、算術的双曲的。
• 算術的双曲的タイプは、有理数体を定義体とする双曲空間内における算術的反射群と密接に関係している。
• 算術的双曲的タイプの一般化 Cartan 行列の系列は有限個存在し、これは反射的原始的双曲的整数対称双線形形式に対応する。
• 対称の場合、すべてのこのような行列は完全に分類されており、最大ランクは19であり、2-反射的形式を用いて得られている。
• このような代数の構成は標準的である：各代数は、S（反射的形式）、W̃（有限指数の反射部分群）、λ（(4.4) および (4.5) を満たす関数）の三つ組 (S, W̃, λ) から生じる。
• 対称の場合、これは [O(S):W(2)(S)] < ∞ を満たす 2-反射的形式 S に対応し、すべての such 形式はランク19まで既知である。