[論文レビュー] A Lefschetz type coincidence theorem

Peter Saveliev|ArXiv.org|Jun 4, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の位相空間 X と多様体 Y に対して、写像 f, g: X → Y について、Lefschetz型の一致定理を確立する。この定理は、一致指数 I(f,g) が Lefschetz数 L(f,g) に等しいことを示し、L(f,g) ≠ 0 であれば f と g は少なくとも1つの一致点 x を持つ、すなわち f(x) = g(x) を満たすことを意味する。この結果は古典的な一致定理を一般化し、X と Y が多様体である場合や、f がアサイクルな纤维を持つ場合などに適用可能である。

ABSTRACT

A Lefschetz-type coincidence theorem for two maps f,g:X->Y from an arbitrary topological space X to a manifold Y is given: I(f,g)=L(f,g), the coincidence index is equal to the Lefschetz number. It follows that if L(f,g) is not equal to zero then there is an x in X such that f(x)=g(x). In particular, the theorem contains some well-known coincidence results for (i) X,Y manifolds and (ii) f with acyclic fibers.

研究の動機と目的

• 任意の位相空間から多様体への写像に対して、古典的な一致定理を一般化すること。
• 一致指数 I(f,g) に対して、Lefschetz数 L(f,g) を用いたLefschetz型の公式を確立すること。
• f がアサイクルな纤维を持つ場合や、X と Y が両方とも多様体である場合の既知の一致点に関する結果を統一・拡張すること。
• 一致点の存在を示すための位相的基準として、Lefschetz数が消えないこと（非ゼロであること）を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、特にホモロジーおよびコホモロジー理論を用いた代数的位相の道具を用いて、一致指数 I(f,g) を定義する。
• 彼らは、ホモロジー上の誘導写像から得られるトレースに類似した不変量として、Lefschetz数 L(f,g) を構成する。
• 証明は、多様体の双対性およびPoincaré双対性の性質に依拠し、一致指数とLefschetz数を関連付ける。
• Y が多様体であることを利用して、基本類の存在を保証し、必要な双対性同型を定義する。
• 鍵となるステップは、f と g のグラフを含むホモロジー計算を通じて、I(f,g) = L(f,g) を示すことである。
• 標準的な代数的位相の技法、特に転送写像と普遍係数定理の使用を用いて結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Y が多様体である写像 f, g: X → Y に対して、一致指数 I(f,g) が Lefschetz数 L(f,g) に等しくなる条件は何か？
• RQ2 古典的なLefschetz固定点定理は、任意の位相空間 X と多様体 Y に対して、一致定理へと拡張可能か？
• RQ3 Lefschetz数 L(f,g) が非ゼロであれば、f(x) = g(x) を満たす一致点 x が存在すると言えるか？
• RQ4 f がアサイクルな纤维を持つ場合、または X と Y が両方とも多様体である場合、結果はどのように特殊化されるか？
• RQ5 滑らかさや有限次元構造が存在しない状況において、一致点を検出するための位相的不変量として何が使えるか？

主な発見

• Y が多様体である任意の連続写像 f, g: X → Y に対して、一致指数 I(f,g) は Lefschetz数 L(f,g) に等しい。
• L(f,g) ≠ 0 であれば、少なくとも1つの点 x ∈ X が存在し、f(x) = g(x) を満たす。これにより、一致点の存在が保証される。
• この結果は、多様体やアサイクルな纤维を持つ写像について既知の一致定理を一般化する。
• Lefschetz数は、X が多様体でない場合でも、一致点の存在を保証する十分条件として機能する。
• X が任意の位相空間で Y が任意の多様体である限り、コンパクト性や有限性の条件を課さずに、この定理は一般に成り立つ。
• 証明は、Y の多様体構造を用いて双対性を定義し、ホモロジーを用いて一致指数を計算することに依拠している。