[論文レビュー] A library of Taylor models for PVS automatic proof checker

Francisco Cháves, Marc Daumas|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2006

Numerical Methods and Algorithms参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、PVS証明支援系に統合された形式的検証済みのテイラー・モデルライブラリを提示する。これにより、検証可能な数値的境界を計算し、機械検証可能な証明を生成できる。PVSの高階論理と自動証明検証機能を活用することで、型チェックと定理証明による厳密な検証により、算術演算と区間包含の正しさが保証され、数値誤差を形式的に除外しなければならない安全・信頼性が求められる応用分野における信頼できる代替手段を提供する。

ABSTRACT

We present in this paper a library to compute with Taylor models, a technique extending interval arithmetic to reduce decorrelation and to solve differential equations. Numerical software usually produces only numerical results. Our library can be used to produce both results and proofs. As seen during the development of Fermat's last theorem reported by Aczel 1996, providing a proof is not sufficient. Our library provides a proof that has been thoroughly scrutinized by a trustworthy and tireless assistant. PVS is an automatic proof assistant that has been fairly developed and used and that has no internal connection with interval arithmetic or Taylor models. We built our library so that PVS validates each result as it is produced. As producing and validating a proof, is and will certainly remain a bigger task than just producing a numerical result our library will never be a replacement to imperative implementations of Taylor models such as Cosy Infinity. Our library should mainly be used to validate small to medium size results that are involved in safety or life critical applications.

研究の動機と目的

• PVS証明支援系内に形式的検証済みのテイラー・モデルライブラリを開発し、数値評価と機械検証可能な証明の両方を支援すること。
• 従来の数値ソフトウェアの限界を克服するため、区間演算とテイラー・モデル技術を統合し、分散誤差を低減し、精度を向上させること。
• 形式的証明が必須となる安全・生命関連の応用分野において、小規模から中規模の数値結果を検証する信頼できるフレームワークを提供すること。
• PVSによる形式的検証が、テイラー・モデルのような高度な数値手法に対しても、証明システムにネイティブにサポートされていなくても適用可能であることを示すこと。
• 今後の拡張の基盤を築くこと。具体的には、初等関数（例：正弦、余弦、平方根）のサポートと、低レベルの詳細を抽象化する自動証明戦略によるユーザ抽象化の向上を計画する。

提案手法

• ライブラリは、PVSにおけるテイラー・モデルを表す新しい抽象データ型を定義し、各モデルを多項式と区間剰余の組み合わせとして表現する。
• 区間演算の整合性と妥当性を保証するため、既存のPVS区間演算ライブラリと統合する。
• 加法、乗法、関数の逆数演算などの演算は、PVSの型システムと定理証明機能を用いて形式的に正しく証明される。
• PVSの部分型機構を用いて制約（例：分母がゼロでない、平方根の被開体が非負）を強制し、演算が有効な定義域でのみ適用されるようにする。
• ライブラリはカスタム多項式ライブラリに依存し、テイラー・モデル演算を支える解析学および代数学の基礎定理を証明する。
• PVSのグランド評価器とPVSio拡張機能を用いて式を実行・テストし、Common Lispでテイラー・モデル式の評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PVSのような高階論理証明支援系内にテイラー・モデルを形式的検証可能に実装できるか。算術演算と区間包含の両方の正しさが保証されるか。
• RQ2 区間演算と多項式演算を型安全な方法で統合することで、厳密な誤差境界を伴うテイラー・モデルを表現できるか。
• RQ3 PVSを用いて、超越関数や非線形演算を含む数値結果について機械検証可能な証明を生成することは、実用的で妥当な手法か。
• RQ4 PVSの証明インfraストラクチャを、信頼性を損なわずにテイラー・モデルのような高度な数値技法をサポートするように拡張できるか。
• RQ5 安全・信頼性が求められる数値計算において、形式的正しさを保ちつつ、最終ユーザーの形式的証明の複雑さをどのように軽減できるか。

主な発見

• ライブラリは、加法、乗法、逆数演算といった核心的なテイラー・モデル演算を正しく実装し、PVSにおける機械検証可能な証明を提供した。
• 除法および逆数演算におけるゼロでない制約を、無効な入力を除外する部分型述語を用いて正しく処理した。
• トイラ例として、式 ch(2x/1000) × sh(3x/1000) の5次テイラー・モデルを計算でき、係数は P(5) = 521/4×10^16 に達し、区間剰余は ±1.996×10^-28 で有界であることが示された。
• PVSのグランド評価器（PVSioを介して拡張）は、テイラー・モデルの多項式部と区間部を正しく抽出・評価でき、記号的表現の正しさが確認された。
• ライブラリは拡張可能に設計されており、正弦、余弦、平方根、逆正 tangent などの初等関数のサポートと、低レベルの詳細を抽象化する高レベルの証明戦略の導入を計画している。
• 本開発は、熟練した指導と段階的証明構築を支援することで、PVS内に複雑な数値手法に対しても形式的検証が可能であることを示した。